Olimpíadas ⇒ (Romênia) Equação do 2° Grau Tópico resolvido

[Aron]

Considere a função quadrática [tex3]f(x)=x^{2}+(a+b+c)x+\lambda(ab+ac+bc)[/tex3] onde [tex3]a,\ b,\ c[/tex3] são reais positivos e [tex3]\lambda[/tex3] um real. Prove que:

a) Se [tex3]\lambda\leq \frac{3}{4}[/tex3], a função possui raízes reais;

b) Se [tex3]a,\ b,\ c[/tex3] são lados de um triângulo e [tex3]\lambda\geq1[/tex3], a função não possui raízes reais.

[Aron]

para a função quadrática possuir raízes reais o [tex3]\Delta \geq 0[/tex3], então

[tex3]f(x)=x^{2}+(a+b+c)x+\lambda(ab+ac+bc)[/tex3]

[tex3](a+b+c)^2-4\lambda (ab+ac+bc)\geq 0\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 4\lambda(ab+ac+bc)[/tex3]

como [tex3]a,b,c >0[/tex3] então,

[tex3]\frac{(a+b+c)^2}{4(ab+ac+bc)}\geq \lambda\, \Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{4(ab+ac+bc)}+\frac{\cancel{2(ab+ac+bc)}}{\cancel{4(ab+ac+bc)}}\geq \lambda\, \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{a^2+b^2+c^2}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}\geq\lambda[/tex3]

Como [tex3]a,b,c[/tex3] são reais existe a seguinte desigualdade

[tex3]a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc[/tex3]

A demonstração é feita pela desigualdade entre a média quadrática e geométrica, vou demonstrá-la

[tex3]MQ\geq MG[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \sqrt{ab}\, \Rightarrow[/tex3] elevando ao quadrado a inequação temos

[tex3]a^2+b^2\geq 2ab[/tex3]

analogamente vamos encontrar também

[tex3]a^2+c^2\geq 2ac[/tex3]

[tex3]b^2+c^2\geq 2bc[/tex3]

Somando todas as inequações temos

[tex3]2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+ac+bc)\Rightarrow \boxed{a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc}[/tex3]
[tex3]C.Q.D[/tex3]

Voltando a questão

[tex3]\frac{a^2+b^2+c^2}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}\geq\lambda[/tex3]

vamos substituir o valor de [tex3]a^2+b^2+c^2[/tex3] pela desigualdade que sabemos

[tex3]\frac{\cancel{(ab+ac+bc)}}{4\cancel{(ab+ac+bc)}}+\frac{1}{2}\geq \lambda\Rightarrow\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\geq\lambda[/tex3]

[tex3]\lambda \leq \frac{3}{4}\, \, \, \, \, \boxed{C.Q.D}[/tex3]

agora para provar a segunda pergunta,vamos utilizar um contra exemplo, suponto que nas condições dadas venha existir raizes reais,então o [tex3]\Delta[/tex3] da função, que já temos, vai continuar sendo maior ou igual a zero, vamos guarda a relação que já temos

[tex3]\frac{a^2+b^2+c^2}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}\geq\lambda[/tex3]

pela desigualdade triângular temos

[tex3]|b-c|<a<b+c[/tex3]
[tex3]|a-c|<b<a+c[/tex3]
[tex3]|a-b|<c<a+b[/tex3]

elevando ao quadrado

[tex3]b^2-2bc+c^2<a^2<b^2+2bc+c^2[/tex3]
[tex3]a^2-2ac+c^2<b^2<a^2+2ac+c^2[/tex3]
[tex3]a^2-2ab+b^2<c^2<a^2+2ab+b^2[/tex3]

Somando tudo temos:

[tex3]2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)<a^2+b^2+c^2<2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)[/tex3]

dividindo tudo por [tex3]4(ab+ac+bc)[/tex3]

[tex3]\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}-\frac{\cancel{2(ab+ac+bc)}}{\cancel{4(ab+ac+bc)}}<\frac{a^2+b^2+c^2}{4(ab+ac+bc)}<\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}+\frac{\cancel{2(ab+ac+bc)}}{\cancel{4(ab+ac+bc)}}[/tex3]

[tex3]\frac{(a^2+b^2+c^2)}{2(ab+ac+bc)}-\frac{1}{2}<\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}<\frac{(a^2+b^2+c^2)}{2(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}[/tex3]

Somando [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] a desigualdade

[tex3]\frac{(a^2+b^2+c^2)}{2(ab+ac+bc)}<\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}<\frac{(a^2+b^2+c^2)}{2(ab+ac+bc)}+1[/tex3]

Vemos que

[tex3]\frac{(a^2+b^2+c^2)}{2(ab+ac+bc)}-\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}<\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}<\frac{1}{2}\Rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}<1[/tex3]

Como [tex3]a,b,c>0[/tex3] logo,

[tex3]\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}>0[/tex3]

então temos o intervalo

[tex3]0<\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}<1[/tex3]

Só que sabemos que [tex3]\lambda \geq 1[/tex3]

e temos a relação sendo o [tex3]\Delta \geq 0[/tex3]

[tex3]\frac{a^2+b^2+c^2}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}\geq\lambda[/tex3]

é facil ver que é impossível o [tex3]\Delta \geq 0[/tex3] pois há uma contradição nos intervalos, e para que isso não aconteça o [tex3]\Delta <0[/tex3]

Então Finalmente a correta desigualdade fica assim com o [tex3]\Delta <0[/tex3]:

[tex3]0<\frac{(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}<1[/tex3]

[tex3]\frac{a^2+b^2+c^2}{4(ab+ac+bc)}+\frac{1}{2}\leq \lambda[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\boxed{C.Q.D}}}[/tex3]