Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1973) Conjuntos Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

Seja o conjunto [tex3]A \, = \, \{ 3, \, \{3\}\}[/tex3] as proposições :

1) [tex3]3 \, \in \, A[/tex3]
2) [tex3]\{3\} \, \subset \, A [/tex3]
3) [tex3]\{3\} \, \in \, A[/tex3]

então:

a) apenas as proposições 1) e 2) são verdadeiras;
b) apenas as proposições 2) e 3) são verdadeiras;
c) apenas as proposições 1) e 3) são verdadeiras;
d) todas as proposições são verdadeiras;
e) nenhuma proposição é verdadeira.

Resposta

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Gabarito: d

[RaphaDavid]

Olá, emanuel9393!

Então, o símbolo [tex3]\in[/tex3] se refere a pertinência de um elemento a um conjunto, não é necessário mais que uma noção primitiva para a compreensão disso. Para uma explicação do símbolo [tex3]\subset[/tex3], podemos fazer: [tex3]A \subset B \Leftrightarrow (\forall x)(x\in A \Rightarrow x\in B)[/tex3] - O conjunto A está contido no conjunto B se, e somente se, para todo x, se x pertence ao conjunto A, então x pertence ao conjunto B.

Após essa brevíssima explicação, vamos para as afirmações:
1) Está correta, pois o elemento 3 pertence ao conjunto A;
2) Está correta, pois o conjunto {3} está contido no conjunto A (todo elemento no conjunto {3} pertence ao conjunto A - obedece a regra de subconjuntos que expliquei);
3) Está correta, pois o elemento {3} pertence ao conjunto A.

Qualquer dúvida, poste aí
Perdoe-me qualquer equívoco, estou "bêbado" de sono, rs.

[emanuel9393MOD]

3) Está correta, pois o elemento {3} pertence ao conjunto A.

Me diz uma coisa: o número três está entre colchetes, o que representa um conjunto, concorda? A relação de pertinência é definida somente para elementos e não para conjuntos. Eu diria que a proposição 3) estaria errada, a notação correta seria [tex3]\{3\} \, \subset \, A[/tex3] ( ou seja, [tex3]\{3\}[/tex3] "está contido" em [tex3]A[/tex3] e não [tex3]\{3\}[/tex3] "pertence" a [tex3]A[/tex3]). Acredito que a questão em si não está demonstrando uma boa compreensão dos conceitos de relação de pertinência e relação de continência. O que você me diz?

Um abraço!

[RaphaDavid]

Então, isso é um pouco confuso mesmo, mas um conjunto pode pertencer a outro conjunto, o Iezzi ou Rufino dá um exemplo bem claro que tentarei passar aqui, se a minha memória não falhar, rs.

Por exemplo, o conjunto das seleções de uma copa do mundo é formado por várias equipes que, por sua vez, podem ser consideradas como conjuntos de vários jogadores, que podem ser consideradas como conjuntos de células, e assim por diante.

Acho um exemplo como esse notável, pois a relação de pertinência de um elemento a um conjunto é bem indutiva.
Assim, como o conjunto A foi representado por sua forma analítica ou por enumeração, isto é, os elementos foram explicitados entre chaves, deixe-me listar os elementos do conjunto A: 3 e {3}.

Então {3} pertence sim ao conjunto A, rs.
A ideia mesmo da questão é perceber que um conjunto pode perfeitamente pertencer a outro conjunto, não há nada que possa impedir isso.

Qualquer dúvida poste aí

[emanuel9393MOD]

Então {3} pertence sim ao conjunto A, rs.
A ideia mesmo da questão é perceber que um conjunto pode perfeitamente pertencer a outro conjunto, não há nada que possa impedir isso.

Nesse caso, "pertencer" a um conjunto seria a mesma coisa que "estar contido" nesse conjuto? Quer dizer que não existem diferenças entre os símbolos [tex3]\in[/tex3] e [tex3]\subset[/tex3]?

Um abraço!

[jrneliodias]

Olá Emanuel,

Só respondendo sua pergunta, existe uma relaçao de equivalência como nosso colega citou acima:
[tex3]A\subset B\,\Leftrightarrow\,(\forall x)(x\,\in\,A\,\Rightarrow\,x\,\in\,B)[/tex3]

Abraço a todos.

[emanuel9393MOD]

Olá, pessoal!

A discussão aqui está andando em círculos . Vou tentar esclarecer a minha dúvida: eu pensava que a notação [tex3]\subset[/tex3] foi convencionada somente para conjuntos (ou seja, "estar contido" funcionaria como um "pertencer" só que definida somente para conjuntos). A notação [tex3]\in[/tex3], que é um conceito primitivo, está definida somente para elementos (ou seja, um elemento "pertence" ou ''não pertence" a um conjunto, não sendo admitida a notação "estar contido" para esse caso).

Pergunto: Estou certo ou errado? Por que?
Espero ter sido claro.

Um abraço e obrigado pela atenção!

[jrneliodias]

Veja emanuel, [tex3]\{3\}[/tex3] é um elemeto de [tex3]A[/tex3], então podemos dizer que [tex3]\{3\}\in A[/tex3]. Agora se ele dissesse [tex3]\{\{3\}\}[/tex3], isso seria um subconjunto de [tex3]A[/tex3], assim teria que ser [tex3]\{\{3\}\}\subset A[/tex3].

[emanuel9393MOD]

Olá, pessoal!

Depois da sua observação, Nélio, acredito que a distinção entre conjuntos e elementos tem que ser feita na questão. Como não foi informado nada acerca de [tex3]\{3\}[/tex3], então podemos admití-lo que esta pode ser considerardo tanto elemento como conjunto. Acabei de ver umas questões da CESCEA e da CESCEM aqui. Percebi que eles exploram isso .

Muito obrigado pela ajuda sua e do Raphadavid!

P.S.: Me perdoem se aborreci alguém.