Ensino Médio ⇒ Distância mínima - Geometria Tópico resolvido

[Thvilaça]

Dar, no eixo das abscissas, um ponto P, de maneira que a soma de suas distâncias aos pontos M(1;2) e N(3;4) seja mínima.

Resposta: P = (5/3; 0)

[roberto]

Essa questão é muito bonita!!! Aplica-se também na Física , em questões de óptica geométrica, quando tratamos de formação de imagens em espelhos planos! Veja o esboço da solução:

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Explicação: Rebatemos um dos pontos (M ou N), com relação ao eixo x. Na figura eu rebati o ponto N e encontrei o ponto N'.
Repare que a menor distância que liga M a N' é a reta que passa por P. Então [tex3]\overline{MN'}=\overline{MP}+\overline{PN'}[/tex3]
E veja que [tex3]\overline{PN'}=\overline{PN}[/tex3] Pois o [tex3]\Delta_{PNN'}[/tex3] é isósceles.
A soma mínima das distâncias será [tex3]\overline{MN'}=\overline{MP}+\overline{PN}[/tex3]. Para terminar o problema precisamos encontrar o ponto P.
Os triângs. PAM e PN'B são semelhantes: [tex3]\frac{MA}{N'B}=\frac{AP}{PB} \rightarrow \frac{2}{4}=\frac{AP}{2-AP}[/tex3]
[tex3]\therefore AP=\frac{2}{3}[/tex3]
O ponto P fica numa distância:[tex3]A+AP=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}[/tex3]

[roberto]

Qualquer dúvida, pode perguntar!

[Thvilaça]

Obrigado roberto !

[Lolisa73]

Entendi a resolução porque já tenho familiaridade com ela graças a ótica. Mas uma dúvida bem elementar que tenho é o porquê dessa estratégia nos garantir a menos distância. Sei que na ótica, ela garante que o ângulo de incidência seja igual ao de reflexão. Porém, gostaria de algum outro exemplo que mostrasse que essa realmente é a menor distância possível. Obrigada!

[undefinied3]

Como assim? A menor distância entre dois pontos é uma reta, por que você acredita que essa não seria a menor distância? Não é nem uma saída pela física, na verdade é de certa forma o contrário, a luz, buscando minimizar o tempo, dado que sua velocidade é constante, irá percorrer o menor caminho.