IME / ITA ⇒ (ITA - 1988) Matrizes e Determinantes Tópico resolvido

[Leandro]

Seja A uma matriz quadrada inversível, de ordem 3. Seja B a matriz dos cofatores da matriz A. Sabendo-se que det A = -2, calcule det B.

Resposta

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Gabarito: 4

[theblackmamba]

Olá Leandro!

Devemos ter posse da seguinte relação:

Seja X uma matriz inversível de ordem n e cof (X) a matriz dos cofatores de X é válido que:

[tex3]\boxed{X^{-1}=\frac{1}{\det(X)}\cdot [\operatorname{cof}(X)]^t}[/tex3]

Uma mexer um pouco nesta relação aplicando "determinante" nos dois lados:

[tex3]\det(X^{-1})=\det\left(\frac{1}{\det(X)\cdot [\operatorname{cof}(X)]^t} \right)[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\det(X)}=\frac{1}{[\det(X)]^n} \cdot \det[\operatorname{cof}(X)][/tex3]
[tex3]\boxed{\det[\operatorname{cof}(X)]=[\det(X)]^{n-1}}[/tex3]

Sendo, [tex3]X=A[/tex3] e [tex3]\operatorname{cof}(X)=B[/tex3] temos:

[tex3]\det(B)=[\det(A)]^{n-1}[/tex3]
[tex3]\det(B)=(-2)^{3-1}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\det(B)=4}}[/tex3]

Espero ter ajudado.
Abraço.

[Leandro]

Obrigado senhor Mamba. Belíssima resolução!