IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1990) Geometria Plana: Quadriláteros Tópico resolvido

[ggarcia]

Considere o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] onde [tex3]\bar{AB} = 5 \text{cm},[/tex3] [tex3]\bar{BC} = 7,5 \text{cm},[/tex3] [tex3]\bar{CD} = 9 \text{cm},[/tex3] [tex3]\bar{AD} = 4 \text{cm},[/tex3] [tex3]\bar{BD} = 6 \text{cm}.[/tex3] O ângulo [tex3]A\hat BC[/tex3] deste quadrilátero é igual a :

a) [tex3]B\hat CD + \frac{A\hat D C}{2}[/tex3]
b) [tex3]B\hat AD + A\hat DC - B\hat CD[/tex3]
c) [tex3]B\hat AD + B\hat CD[/tex3]
d) [tex3]2B\hat CD + A\hat DC[/tex3]
e) [tex3]A\hat DC + 2B\hat AC - B\hat CD[/tex3]

[marco_sx]

Olá

Pra essa aí eu não achei nenhuma mágica. Sai por lei dos cossenos.

Aplique lei dos cossenos nos triângulos [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]BCD.[/tex3] Então acharemos:

• [tex3]cos(B\hat AD)=\frac{1}{8}[/tex3], [tex3]cos(A\hat BD)=\frac{3}{4}[/tex3], [tex3]cos(D\hat BC)=\frac{1}{8}[/tex3], [tex3]cos(B\hat CD)=\frac{3}{4}[/tex3]
  
  [tex3]A\hat BC=A\hat BD+D\hat BC \Rightarrow A\hat BC=B\hat CD+B\hat AD[/tex3]

Alternativa (c).

Opa só depois de calcular os cossenos é que fica óbvio que os triângulos citados são semelhantes mas outra maneira de resolver é perceber a semelhança.