Ensino Superior ⇒ Integral Trigonométrica

[b4]

[tex3]\int\Large\frac{\text{sen}\,x + 2 \cos\, x}{2\text{sen}\,x\, + \,3 \cos\,x}\large\,\, dx[/tex3]

[John]

Seja [tex3]sen \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}[/tex3] e [tex3]cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}[/tex3]. Então,

[tex3]sen x + 2cos x = \sqrt{5} (sen \theta sen x + cos \theta cos x) = \sqrt{5}cos(x - \theta)[/tex3].

Agora, seja [tex3]sen \beta = \frac{3}{\sqrt{13}}[/tex3] e [tex3]cos \beta = \frac{2}{\sqrt{13}}[/tex3]. Então,

[tex3]2sen x + 3cos x = \sqrt{13} (cos\beta sen x + sen\beta cos x) = \sqrt{13}sen(x + \beta)[/tex3].

Assim,

[tex3]\int \frac{sen x + 2cos x}{2sen x + 3cos x}dx = \int \frac{\sqrt{5}cos (x - \theta)}{\sqrt{13}sen(x + \beta)}dx[/tex3].

Vamos fazer uma mudança de variável. Seja [tex3]u = x + \beta[/tex3]. Então [tex3]du = dx[/tex3] e

[tex3]\int \frac{\sqrt{5}cos (x - \theta)}{\sqrt{13}sen(x + \beta)}dx = \int \frac{\sqrt{5}cos (u - \beta -\theta)}{\sqrt{13}sen(u)}du = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}\int \frac{cos(u)cos(\beta + \theta) + sen(u)sen(\beta + \theta)}{sen(u)}du = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}\int \left(cotg(u)cos(\beta + \theta) + sen(\beta + \theta) \right)du[/tex3]

Como [tex3]\int cotg(u) du = \ln |sen u| + constante[/tex3]. Temos,

[tex3]\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}\int \left(cotg(u)cos(\beta + \theta) + sen(\beta + \theta) \right)du = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}cos(\beta + \theta)\ln |sen u| + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}sen(\beta + \theta)u + K.[/tex3]

Mas [tex3]u = x + \beta[/tex3]. Portanto,

[tex3]\int \frac{sen x + 2cos x}{2sen x + 3cos x}dx = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}cos(\beta + \theta)\ln |sen (x + \beta)| + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}sen(\beta + \theta)(x + \beta) + K.[/tex3]

Para finalizar, basta calcularmos os valores de [tex3]cos(\beta + \theta)[/tex3] e [tex3]sen(\beta + \theta)[/tex3].

[tex3]sen(\beta + \theta) = sen(\beta)cos(\theta) + sen(\theta)cos(\beta) = \frac{8}{\sqrt{65}}[/tex3].

[tex3]cos(\beta + \theta) = cos(\beta)cos(\theta) - sen(\theta)sen(\beta) = \frac{1}{\sqrt{65}}[/tex3].

Portanto,

[tex3]\int \frac{sen x + 2cos x}{2sen x + 3cos x}dx = \frac{1}{13}\ln |sen (x + \beta)| + \frac{8}{13}(x + \beta) + K.[/tex3]

Até mais!

[John]

Epa...esqueci que a resposta ficou em função de [tex3]\beta[/tex3]. Basta ver que [tex3]tag(\beta) = \frac{3}{2}[/tex3]. Daí, [tex3]\beta = arc tag \left(\frac{3}{2} \right)[/tex3].

[b4]

Muito obrigado, John.

[b4]

Eu vou perder um tempo tentando entender tudo isso.Me deseje sorte

[b4]

Preciso vê algo que não me faça desisti de entender isso agora, mas é como o titulo daquele livro"um antropólogo em marte", voce entra num mundo sem saber como entrou

[John]

Fala b4, não desiste agora não!!! Esta integral é bem interessante... aos poucos vc vai pegando as técnicas e depois vc estará resolvendo qualquer integral!!!!!!! Até mais....

[b4]

Deus te ouça .Eu me incutir com esse negócio de integral, mas acho que preciso de um tutor antes... !!!!!