Pré-Vestibular ⇒ (PUC-2008) Altura Máxima Tópico resolvido

[patysales001]

A força exercida contra o chão pela ponta da perna de um inseto saltador é transmitida para o chão através da articulação dos pés posteriores. As pernas longas aumentam o tempo durante o qual a força pode agir e assim contribuirem
para a aceleração adquirida, mas quanto mais alto o salto, menos tempo as pernas empurram o chão.
Um gafanhoto ao saltar de um ponto R a um ponto S, em um chão plano, tem como trajetória uma parábola de equação
[tex3]y=\frac{-4x^2}{125}+\frac{8x}{5}[/tex3], com [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] medidos em centímetros. A altura máxima atingida por ele, em centímetros, é:

A) 10
B) 15
C) 20
D) 25

[jhonim]

Derivando a função, obteremos: [tex3]f'(x)=\frac{-8x}{125}+\frac{8}{5}[/tex3]. Como a função é de segundo grau e também é decrescente, ela terá apenas um ponto máximo, determinado quando [tex3]f'(x)=0[/tex3], ou seja, quando [tex3]x=25[/tex3].

Abraços.

[theblackmamba]

Olá,

A altura máxima é a abcissa do vértice da equação [tex3]ax^2+bx+c=0[/tex3], onde [tex3]a=\frac{-4}{125}[/tex3],
[tex3]b=\frac{8}{5}[/tex3] e [tex3]c=0[/tex3].

[tex3]X_v=\frac{-b}{2a}[/tex3]
[tex3]X_v=\frac{-\frac{8}{5}}{\frac{-8}{125}}=\frac{125}{5}[/tex3]
[tex3]X_v=25\,\text{cm}[/tex3]

[jhonim]

Me desculpe pelo raciocínio acima, achei que estávamos nos tópicos de ensino superior. Foi mal.

Bom, é simples. Para encontrar a altura máxima, basta descobrir qual o vértice da parábola. A fórmula para encontrar as coordenadas do vértice de uma parábola é a seguinte:

[tex3]V=\left(\frac{-b}{2\,a}\,;\,\frac{-\Delta}{4\,a}\right)[/tex3]

Analisando a fórmula do problema, percebemos que [tex3]a=\frac{-4}{125}\,,\,b=\frac{8}{5}\,,\, \,\Delta=0[/tex3]. Logo:

[tex3]V=(\,25\,;0\,)[/tex3]

Quando o [tex3]x=25[/tex3] a parábola alcançará seu valor máximo, que no caso seria [tex3]y=0[/tex3].

Alternativa [tex3]D[/tex3].

Abraços.

[Diegooo]

Olá theblackmamba e Jhonim,

Tem um errinho na solução de vocês!

Como ele pede a altura máxima devemos calcular o [tex3]Y_V[/tex3] e não o [tex3]X_V[/tex3]

Como [tex3]Y_V= \frac{- \Delta}{4a}[/tex3]

[tex3]\Delta = b^2 -4ac[/tex3]

[tex3]\Delta = \frac{64}{25}[/tex3] logo:

[tex3]\boxed{Y_V=20 cm}[/tex3]

Vocês calcularam o alcance máximo!

Espero ter ajudado!

[Diegooo]

Estou certo ou errado?

[jhonim]

Exatamente! Eu deveria ter substituído o valor de x=25 cm na fórmula para encontrar a altura máxima. Meu equívoco.

Abraços.

[patysales001]

Estou certo ou errado?

É isso aí! Você está certíssimo.
Agradeço sua atenção.