Pré-Vestibular ⇒ (UNIFEI - 2006) Geometria Espacial: Cilindro

[askaf]

Um cilindro de revolução, de raio [tex3]5\text{cm},[/tex3] é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo de simetria. Esse plano situa-se a [tex3]4 \text{cm}[/tex3] do eixo de simetria do cilindro. A interseção do plano com o cilindro é uma seção quadrada. A área total desse cilindro mede, em [tex3]\text{cm}^2:[/tex3]

[tex3]\text{a) 120\pi. b) 110\pi. c) 100\pi. d) 90\pi.}[/tex3]

[John]

Seccione o cilindro por um plano paralelo ao seu eixo de simetria, cuja seção é um quadrado. Olhando para a base circular do cilindro, seja [tex3]A[/tex3] o centro do círculo. A interseção do plano com a base do cilindro é um segmento de reta. Sejam [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] as extremidades deste segmento. Assim, [tex3]\overline{BA} = \overline{CA} = 5 \text{cm}.[/tex3]

Considere o triângulo [tex3]ABC.[/tex3] Como [tex3]\overline{BA} = \overline{CA},[/tex3] a altura do triângulo [tex3]ABC[/tex3] relativa ao lado [tex3]BC,[/tex3] é o segmento [tex3]AD,[/tex3] onde [tex3]\overline{BD} = \overline{CD}.[/tex3] Seja [tex3]x = \overline{BD}[/tex3] e pelo enunciado [tex3]\overline{AD} = 4 \text{cm}.[/tex3] Como o triângulo [tex3]ABD[/tex3] é retângulo em [tex3]D,[/tex3] temos:

• [tex3]\overline{AD}^2 + \overline{BD}^2 = \overline{AB}^2[/tex3]
  
  [tex3]4^2 + x^2 = 5^2[/tex3]
  
  [tex3]x = 3\text{cm}[/tex3]

Como a seção é um quadrado, segue que o lado deste quadrado é [tex3]2x = 6.[/tex3]

Agora fica fácil determinar a área total. Sendo [tex3]H = 2x = 6[/tex3] e [tex3]r = 5,[/tex3] temos

• [tex3]A_t = A_\ell + 2A_b = 2\pi rh+ 2\pi r^2=2\pi r(h+r)[/tex3]
  
  [tex3]A_t = 2\pi\cdot 5\cdot ( 6 + 5) = 110\pi \text{cm}^2.[/tex3]