Ensino Superior ⇒ Comprimento de Curva Tópico resolvido

[marcioluis]

Calcule o comprimento da curva [tex3]\gamma(t) = (tcost , tsent), t\in [0,2\pi][/tex3].

Resposta: [tex3]\pi\sqrt{1+4\pi^2} + \frac{1}{2}ln(2\pi + \sqrt{1+4\pi^2})[/tex3].

Grato.

[poti]

Comprimento de curva dada em forma paramétrica: [tex3]L = \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt[/tex3]

[tex3]\frac{dx}{dt} = \frac{d(tcos(t))}{dt} = cos(t) - tsen(t)[/tex3]
[tex3]\frac{dy}{dt} = \frac{d(tsen(t))}{dt} = sen(t) + tcos(t)[/tex3]

O intervalo da sua integral é [tex3]\int_0^{2 \pi}[/tex3].

[tex3]L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(cos(t) - tsen(t))^2 + (sen(t) + tcos(t))^2} dt[/tex3]

Expandindo tudo por produtos notáveis e somando:

[tex3]L = \int_0^{2\pi} \sqrt{t^2 + 1} dt[/tex3]

Agora lembre-se: [tex3]tg^2(x) + 1 = sec^2(x)[/tex3], logo, uma boa substituição pra cair em secante sem raiz vai ser [tex3]t = tg(x)[/tex3]. Se não conseguir, dê um toque.

Abraço!

[marcioluis]

Boa noite poti.

Até ai eu não tive problemas também. Comecei a ter dificuldades no desenvolvimento dessa última integral.
Cheguei em algo do tipo [tex3] \int\limits_{0}^{arctg2\pi}sec^3udu[/tex3] sendo [tex3]u = arctg(t)[/tex3].

Se você puder demonstrar o desenvolvimento da integral que você obteve eu ficaria grato.

Abraços.

[poti]

[tex3]\int sec^3(x) = \int sec(x).sec^2(x)[/tex3]

Faça por partes:

[tex3]u = sec(x), \ dv = sec^2(x)[/tex3]
[tex3]du = sec(x) tg(x), \ v = tg(x)[/tex3]

[tex3]\int sec(x).sec^2(x) = sec(x).tg(x) - \int sec(x).\underset{sec^2(x) - 1}{\underbrace{tg^2(x)}}[/tex3]

[tex3]\int sec(x).sec^2(x) = sec(x).tg(x) - [\int sec(x).sec^2(x) - \int sec(x)][/tex3]

[tex3]\int sec(x).sec^2(x) = sec(x).tg(x) - \int sec(x).sec^2(x) + \int sec(x)[/tex3]

[tex3]2\int sec(x).sec^2(x) = sec(x).tg(x) + \int sec(x)[/tex3]

[tex3]2\int sec(x).sec^2(x) = sec(x).tg(x) + ln(|sec(x) + tg(x)|)[/tex3]

[tex3]\boxed{\int sec(x).sec^2(x) = \frac{sec(x).tg(x) + ln(|sec(x) + tg(x)|)}{2}}[/tex3]

Certo ? Agora substitua e vê se bate. Abraço!

[marcioluis]

Sim, perfeitamente. Mas a integral estaria definida como [tex3]\int\limits_{0}^{arctg(2\pi)}[/tex3]?

[poti]

Sim.

Perceba que as substituições feitas servem apenas para aplicação da integração por partes, ou seja, seu intervalo continua o mesmo.

Abraço!