Pré-Vestibular ⇒ (UNESP - 2006) Geometria Analítica: Circunferência

[rean]

Seja [tex3]C[/tex3] a circunferência de centro [tex3](2, 0)[/tex3] e raio [tex3]2,[/tex3] e considere [tex3]O[/tex3] e [tex3]P[/tex3] os pontos de interseção de [tex3]C[/tex3] com o eixo [tex3]Ox.[/tex3] Sejam [tex3]T[/tex3] e [tex3]S[/tex3] pontos de [tex3]C[/tex3] que pertencem, respectivamente, às retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s,[/tex3] que se interceptam no ponto [tex3]M,[/tex3] de forma que os triângulos [tex3]OMT[/tex3] e [tex3]PMS[/tex3] sejam congruentes, como mostra a figura.

AB29.png

a) Dê a equação de [tex3]C[/tex3] e, sabendo que a equação de [tex3]s[/tex3] é [tex3]y = \frac{x}{3},[/tex3] determine as coordenadas de [tex3]S.[/tex3]
b) Calcule as áreas do triângulo [tex3]OMP[/tex3] e da região sombreada formada pela união dos triângulos [tex3]OMT[/tex3] e [tex3]PMS.[/tex3]

Respostas:

---

a) [tex3](x - 2)^2 + y^2 = 4 \text{ e } S = \(\frac{18}{5}; \frac{6}{5}\)[/tex3]
b) [tex3][OMP]=\frac{4}{3}\text{u.a. e } [OMT]+[PMS]=\text{\frac{32}{15}u.a.}[/tex3]

[adrianotavares]

Olá,rean.

A equação da circunferência é dada por :

[tex3](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=4[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3]y=\frac{1}{3}x[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](ii)[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] teremos:

[tex3](x-2)^2+ \frac{x^2}{9}= 4 \Rightarrow x^2-4x+4+\frac{x^2}{9}-4=0 \Rightarrow 9x^2-36x+x=0[/tex3]

[tex3]\Rightarrow 10x^2-36x=0 \Rightarrow 2x(5x-36)= 0 \Rightarrow x=0[/tex3] ou [tex3]x= \frac{18}{5}[/tex3]

[tex3]y= \frac{1}{3}x \Rightarrow y= \frac{6}{5}[/tex3]

Logo, as coordenadas do ponto [tex3]S[/tex3] é:

[tex3]S= (\frac{18}{5}; \frac{6}{5})[/tex3]

[tex3]b)[/tex3]

A ordenada do ponto [tex3]M[/tex3] é:

[tex3]y=\frac{1}{3}x[/tex3] , para [tex3]x= 2[/tex3] teremos:

[tex3]y= \frac{2}{3}[/tex3]

[tex3]M(2; \frac{2}{3})[/tex3]

Cálculo da área do [tex3]\Delta OMP[/tex3]

[tex3]A= (\frac{4.\frac{2}{3}}{2}) \Rightarrow A= \frac{4}{3}u.a[/tex3]

A área da região sombreada é igual a duas vezes a área do triângulo retângulo [tex3]OTP[/tex3] menos a área do [tex3]\Delta OMP[/tex3]

[tex3]A= 2(\frac{4.\frac{6}{5}}{2}-\frac{4}{3}) \Rightarrow A= 2(\frac{12}{5}-\frac{4}{3}) \Rightarrow A= \frac{32}{15}u.a[/tex3]