IME / ITA ⇒ (EN - 1970) Álgebra Tópico resolvido

[jrneliodias]

Se [tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\,\,3[/tex3], então [tex3]x^3+\frac{1}{x^3}[/tex3] é igual a:[tex3][/tex3]

a) [tex3]0[/tex3]

b) [tex3]1[/tex3]

c) [tex3]2[/tex3]

d) [tex3]3[/tex3]

e) [tex3]4[/tex3]

[gabrielbpf]

Olá, jrneliodias!

Vamos resolver a primeira equação:

[tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\,\,3 \ \rightarrow \ x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}[/tex3]

Agora a segunda:

[tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=\ x^3 + 3x^2\frac{1}{x}+3x\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}= \ (\sqrt{3})^3 \ \\ \rightarrow \ x^3+\frac{1}{x^3}=(\sqrt{3})^3-3x-\frac{3}{x} \ \rightarrow \ x^3+\frac{1}{x^3}=(\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}=\sqrt{3}(\sqrt{3}^2-3) \\ x^3+\frac{1}{x^3}=0[/tex3]

[jrneliodias]

Obrigado, gabrielbpf. Abraço.

[Radius]

Olá, jrneliodias!

Vamos resolver a primeira equação:

[tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\,\,3 \ \rightarrow \ x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}[/tex3]

e se for [tex3]x+\frac{1}{x}=-\sqrt{3}[/tex3]
????????

-------------------------------------
vamos fazer a expansão
[tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=\ x^3 + 3x^2\frac{1}{x}+3x\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right) +3\left(x+\frac{1}{x}\right)[/tex3]

tá vendo aquele três-zinho ali? sabemos que [tex3]3=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2[/tex3]. Vamos trocar o três então
[tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right) +\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\left(x+\frac{1}{x}\right)[/tex3]
[tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right) +\left(x+\frac{1}{x}\right)^3[/tex3]
Aí sim que temos a resposta final
[tex3]\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=0[/tex3]

Tão simples, mas tão complicado!

[jhonim]

Outro jeito bem fácil de resolver:

[tex3](a^n+b^n)=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1} \left[\,\,(a^{n-1-k}\cdot b^k)(-1)^k\,\,\right]\\\\\\\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-x^1\cdot \frac{1}{x^1}+\frac{1}{x^2}\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)[/tex3]

Mas, pelo enunciado:

[tex3]x^2+\frac{2x}{x}+\frac{1}{x^2}=3\rightarrow \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=1[/tex3]

Logo:

[tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(1-1\right)=0[/tex3]


Bons estudos!