Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Função Quadrática: Área Máxima de um Quadrilátero

[jrbueno]

Deseja-se construir um retângulo de semi-perímetro [tex3]p[/tex3] de modo que o maior valor possível para a área seja [tex3]36.[/tex3] Então o valor de [tex3]p[/tex3] é:

a) [tex3]12[/tex3]
b) [tex3]13[/tex3]
c) [tex3]15[/tex3]
d) [tex3]20[/tex3]
e) [tex3]37[/tex3]

Desde já obrigado.

[paulo testoniMOD]

Hola jrbueno.

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] as dimensões do retângulo. Logo,

• [tex3]p=a+b\Longrightarrow a=p-b.[/tex3]

Sabemos que a área [tex3]S[/tex3] de um retângulo é dada por [tex3]S=a\cdot b.[/tex3] Desse modo,

• [tex3]S=(p-b)\cdot b=-(b^2-pb)=-\left[\left(b-\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}\right]=\frac{p^2}{4} -\left(b-\frac{p}{2}\right)^2.[/tex3]

[tex3]S[/tex3] é máxima quando [tex3]b=\frac{p}{2}.[/tex3] Mas sabemos que [tex3]S=36.[/tex3] Portanto,

• [tex3]\frac{p^2}{4}=36\Longrightarrow p^2=4\cdot 36\Longrightarrow p=\sqrt{4\cdot 36}=2\cdot 6 =12.[/tex3]