IME/ITA ⇒ (ITA - 2004) Física Moderna Tópico resolvido

[Leandro]

Tenho uma dúvida sobre a seguinte questão:

Um elétron é acelerado a partir do repouso por meio de uma diferença de potencial U, adquirindo uma quantidade de movimento p. Sabe-se que, quando o elétron está em movimento, sua energia relativística é dada por [tex3]E = [(m_0C^{2})^{2} + p^2 C^2]^{1/2}[/tex3], em que [tex3]m_0[/tex3] é a massa de repouso do elétron e C a velocidade da luz no vácuo. Obtenha o comprimento de onda de De Broglie do elétron em função de U e das constantes fundamentais pertinentes.

A dúvida é quanto a dois métodos de resolução que deveriam ser ambos corretos, mas acabam diferentes.

Usando a relação: [tex3]E = E_o + E_c[/tex3], onde Eo é a energia de repouso e Ec, a cinética.

ou

Conservando a energia: [tex3]eV_o + E_o = E + eV_f\,\,\longrightarrow\,\,E = E_o - eU[/tex3]

Perceba que as expressões pra energia total são diferentes. O que há de errado aí?

Resposta

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Dependendo do método, o resultado pode ser uma das duas opções:

Usando a expressão E = Eo + eU:[tex3]\lambda = \frac{hc}{\sqrt{(eU)^2 +2eUm_oc^2}}[/tex3]

Conservando a energia: [tex3]\lambda = \frac{hc}{\sqrt{(eU)^2 -2eUm_oc^2}}[/tex3]

[gabrielbpf]

Olá, Leandro!

Há um pequeno problema na ideia que você teve sobre conservação de energia!

Nesta situação, a energia não será conservada, pois o campo elétrico gerado pela diferença de potencial será responsável pela realização de trabalho sobre o elétron, havendo uma alteração na energia mecânica do corpo.

A partir disso, podemos utilizar o teorema da Energia Cinética: [tex3]W_{F_{el}}=\Delta E_c[/tex3]
(Não esqueçamos do conceito de carga elementar)

[tex3]\rightarrow W_{F_{el}}=eU=\Delta E_c \ \rightarrow \ eU=E_{relativistica}-E_o \ \rightarrow \ eU = \sqrt{[(m_0c^{2})^{2} + p^2 c^2]} - m_{0}c^2 \\\rightarrow (eU+m_0c^2)^2 = (\sqrt{\(m_0C^{2}\)^{2} + p^2 c^2})^2 \ \rightarrow \ e^2U^2 + \cancel{(m_0c^2)^2} + 2eUm_0c
^2=\cancel{(m_0c^2)^2}+p^2c^2 \ \\ \therefore \ p=\sqrt{\frac{e^2U^2+2eUm_0c^2}{c^2}}[/tex3]

O comprimento de onda de Broglie é dado por [tex3]\lambda =\frac{h}{p} \ \rightarrow \ \lambda=\frac{h}{\sqrt{\frac{e^2U^2+2eUm_0c^2}{c^2}}} \ \rightarrow \ \lambda=\frac{hc}{\sqrt{e^2U^2+2eUm_0c^2}}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[Leandro]

Obrigado gabriel!

[Leandro]

Gabriel, desculpe mas, analisando novamente a situação, dizer que a energia não se conserva por causa da força elétrica me parece meio absurdo. A situação é análoga à queda de um corpo devido à gravidade, onde o peso atua e, no entanto, se pode conservar a energia.

Da mesma forma que numa queda a potencial gravitacional se transforma em cinética, entre duas placas de capacitores, a potencial elétrica se transforma em cinética, como você mesmo mencionou atraves do teorema da energia cinética.

O que ocorre de errado naquela resolução da conservação de energia, é que o potencial U é positivo quando se faz [tex3]U = V_o - V_f[/tex3], o contrário do que se fez na resolução.

Abraço.

[gabrielbpf]

É verdade, eu não tinha pensado bem... O trabalho provoca uma alteração da energia cinética e da potencial simultaneamente, ou seja, provoca uma transformação de uma em outra, apenas...

Muito obrigado por retribuir me explicando meu erro!

Abraços...