Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2005) Análise Combinatória Tópico resolvido

[eduardo26]

Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.

Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?

Resposta

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17.resposta

[roberto]

Existem h homens.
Como eles se cumprimentam na chegada e na saída, então temos: [tex3]2.C_{h}^{2}[/tex3]
cumprimentos!!!
Agora, entre um homem e uma mulher, temos: [tex3]h(37-h)[/tex3] cumprimentos!
Somando tudo dá: [tex3]2C_{h}^{2}+h(37-h)=720[/tex3]
resolvendo a equação dá: 20 homens

[gabrielbpf]

Olá!

Nossa! Tive que pensar muito até perceber que não era tão complicado assim...

Vamos lá:

O número de acenos será dado pelo número de pares formados entre mulheres multiplicado por dois (pois é o cumprimento e a despedida) somado ao número de pares formados entre um homem e uma mulher multiplicado por um (pois é apenas a saída!).

O número de pares formados apenas entre mulheres é uma combinação de um número indefinido (justamente o procurado) dois a dois (pois há intersecções)... Já o número de pares formados entre uma mulher e um homem pode ser definido mais facilmente por não haver intersecção entre os dois conjuntos (logicamente, supomos que não há um hermafrodita nessa situação...), sendo a multiplicação do número de mulheres pelo de homens!

Representando matematicamente tudo o que foi escrito acima, teremos:

[tex3]\operatorname{N}_{acenos}=2\cdot C_{x,2}+x\cdot y \ \ (\operatorname{I})[/tex3], seja [tex3]x[/tex3] o número de mulheres e [tex3]y[/tex3], o de homens...

Logicamente, o número de acenos é o número de cumprimentos, que é dado pela combinação de todas as pessoas duas a duas multiplicado por dois (entrada e saída), subtraído do número de apertos de mãos.
[tex3]\operatorname{N}_{acenos}=2\cdot C_{37,2}-720 \ \ (\operatorname{II})[/tex3]

Sabe-se também que [tex3]x+y=37[/tex3]

Igualando [tex3](\operatorname{I})[/tex3] e [tex3](\operatorname{II})[/tex3]:

[tex3]2\cdot C_{37,2}-720=2\cdot C_{x,2}+xy \longrightarrow \\ \\ \\ 2\cdot\frac{37!}{2!(37-2)!}-720=2\cdot \frac{x!}{2!(x-2)!}+x(37-x) \\ \\ \\ 1332-720=\cancel{2}\cdot \frac{x(x-1)\cancel{(x-2)!}}{\cancel{2\cdot 1}\cdot \cancel{(x-2)!}}+37x-x^2 \\ \\ \\ \longrightarrow \ 612=x^2-x+37x-x^2 \\ \\ \\ \therefore x=17[/tex3]

Fui o mais detalhado possível!

Abraços!

[poti]

Boa resolução gabrielbpf.

[Madu1]

Por que o cumprimento de homens e mulheres é dado pelo produto entre eles e não por uma combinação?

[MateusQqMDMOD]

Olá, Madu1.

Pode ser dado por combinação, mas não é muito interessante calcular dessa forma..

Sendo [tex3]x[/tex3] a quantidade de mulheres e [tex3]y[/tex3] a quantidade de homens, a quantidade de apertos de mão entre homens e mulheres é

[tex3]\begin{aligned}C^2_{x+y} - C^2_x - C^2_y &= \frac{(x+y)!}{2!(x+y-2)! } - \frac{x!}{2!(x-2)!} - \frac{y!}{2!(y-2)!} \\ & = \frac{(x+y)(x+y-1) }{2} - \frac{x(x-1)}{2} - \frac{y(y-1)}{2} \\ & = xy\end{aligned}, [/tex3]

isto é, computa-se a quantidade total de apertos de mão e, em seguida, retira-se os casos não favoráveis.

Mas a ideia proposta pelo colega gabrielbpf não foi essa. O Princípio Fundamental da Multiplicação estabelece que se uma decisão d₁ pode ser tomada de [tex3]x[/tex3] maneiras (escolha da mulher) e, depois disso, uma decisão d₂ pode ser tomada de [tex3]y[/tex3] maneiras (escola do homem), então o número de maneiras de tomar d₁ e d₂ é [tex3]xy.[/tex3]

Veja se ficou mais claro.