Ensino Superior ⇒ Taxas Relacionadas - Geometria

[lucascunha]

Um animal ameaçado de extinção é capturado em uma floresta. Desejamos implantar um chip para rastreamento e acompanhamento do animal. Durante o processo aplicamos um medicamento para mantê-lo sedado, a uma taxa de 0,5 ml / min, de um recipiente cônico, como na figura a seguir.

Image.jpg (8.74 KiB) Exibido 1026 vezes

Com que rapidez o nível do medicamento está baixando quando sua profundidade for igual a 8 cm?
Estabeleça que o nível baixa cada vez mais rapidamente à medida que a profundidade diminui.
Dado que o volume inicial do medicamento é de 50ml, em quanto tempo ele se esgotará e o animal voltará
a si?

Considere:

V(t) = volume do medicamento, em ml, presente no recipiente no instante t.
x = raio da superfície do medicamento, em cm, no instante t.
y = altura do medicamento, em cm, no instante t.

A função V(t) que nos dá o volume em função do tempo, é por hipótese decrescente, logo sua derivada
dV/dt é negativa.

Dica: Observe na figura que podemos escrever as variáveis x e y em função uma da outra utilizando
semelhança de triângulos.

isso vai salvar minha vida nessa matéria, só q ñ tenho ideia de como resolver isso!!

[priscilabene]

Por favor, quem souber a resposta deste exercício posta aqui. Tb estou precisando muito desta resposta.



Obrigada

[Radius]

Da semelhança de triângulos: [tex3]\frac{x}{y}=\frac{6}{20}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=0,3y}[/tex3]
-----------------------------------
O volume do cone é dado por: [tex3]V=\frac{\pi R^2h}{3}[/tex3]
Nesse caso específico: [tex3]V(x,y)=\frac{\pi x^2y}{3}[/tex3]
Podemos reescrever como:
[tex3]\boxed{V(y)=\frac{\pi (0,3y)^2y}{3}=0,03\pi y^3}[/tex3]
-----------------------------------
Tomando a derivada em relação ao tempo:

[tex3]\frac{dV}{dt}=0,03\pi \frac{dy^3}{dt}[/tex3]
espero que saiba como funciona a regra da cadeia:
[tex3]\frac{dV}{dt}=0,09\pi y^2\frac{dy}{dt}[/tex3]

a taxa dV/dt é dada pelo problema como 0,5 ml / min (com sinal negativo, pois está diminuindo)
(lembre-se que 1cm³=1ml)

[tex3]-0,5\,cm^3/min=0,09\pi y^2\frac{dy}{dt}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{dy}{dt}=\frac{-50\,cm^3/min}{9\pi y^2}}[/tex3]
-----------------------------------------
Portanto quando y=8 cm, o profundidade tem uma taxa de variação (dy/dt) igual a

[tex3]\frac{dy}{dt}=\frac{-50\,cm^3/min}{9\pi. 8^2\,cm^2}=\boxed{-0,0276\,cm/min}[/tex3]
-------------------------------------

Para a outra pergunta:

[tex3]\frac{dV}{dt}=0,5\,cm^3/min[/tex3]

[tex3]dV=0,5\,cm^3/min\,\,.dt[/tex3]
integrando os dois lados ficamos com
[tex3]\Delta V=0,5\,cm^3/min\,\,\Delta t[/tex3]
Para uma variação de volume de 50ml até zero, o tempo é

[tex3]50\,cm^3=0,5\,cm^3/min\,\,\Delta t[/tex3]

[tex3]\boxed{\Delta t=100\,min }[/tex3]

[priscilabene]

Obrigada mesmo pela resposta.

Me ajudou muito...