IME / ITA ⇒ (ITA - 1991) Análise Combinatória: Comissões de Professores Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Uma escola possui 18 professores, sendo 7 de Matemática, 3 de Física e 4 de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de 12 professores de modo que cada uma contenha exatamente 5 professores de Matemática, no mínimo 2 de Física e no máximo 2 de Química?

R: 2877

[fabit]

Vejamos,


São [tex3]18\{{7Mat}\\{3Fis}\\{4Qui}\\{4other}[/tex3]

A parte fácil é a escolha dos de Mat: [tex3]C_7^5=C_7^2=\frac{7\times6}{2\times1}=7\times3=21[/tex3]

Já pusemos 5 de Mat na comissão de 12, restando 7 vagas para compor com Fis, Qui e other. Agora vamos separar em casos, baseando na quantidade de Fis:

I) Se usar o máximo (todos de Fis, só uma maneira de fazer isso), sobram 4. Até aí temos 21 x 1= 21. São 21 maneiras de sobrar 4 para Qui+other.

II) Se usar 2 de Fis (há três maneiras de deixar um Físico de fora), sobram 5. Nesse caso temos 21 x 3 = 63. São 63 maneiras de sobrar 5 para Qui+other.

Na hipótese I, há 3 subcasos:
a) usando 2 de Qui e 2 de other: [tex3]\(C_4^2\)^2=6^2=36[/tex3]. Portanto "Ia" contribui com 21 x 36 = 756 comissões.
b) usando 1 de Qui (4 escolhas) e 3 de other (4 formas de deixar de fora um prof de other): [tex3]4^2=16[/tex3]. Assim "Ib" acrescenta 21 x 16 = 336 comissões.
c) usando nenhum de Qui (1 modo) e todos de other (1 modo), concluiremos que "Ic" terá 21 comissões.

Na hipótese II:
a) 2 de Qui (6) e 3 de other (4): 63 x 24 = 1512
b) 1 de Qui (4) e 4 de other (1): 63 x 4 = 252
não há caso "IIc", pois se não houver Qui, não haverá others suficientes para as 5 vagas sobrantes.

Compilando:
Ia (5 Mat, 3 Fis, 2 Qui, 2 other): 756
Ib (5, 3, 1, 3): 336
Ic (5, 3, 0, 4): 21
IIa (5, 2, 2, 3): 1512
IIb (5, 2, 1, 4): 252

total 2877.

Abraço

[ALANSILVA]

Boa noite,
Alguém poderia detalhar um pouco mais a resposta apresentada por fabit, não entendi quase nada.

[csmarceloMOD]

Ela analisou caso a caso e não vejo como ser mais sucinto. Vou deixar um resumo do que ele fez, na esperança que isso ajude na compreensão.

As comissões sempre conterão 5 matemáticos. Como ele disse, essa é a parte simples.

As comissões devem ter, no mínimo, 2 físicos. Com isso, é preciso analisar os casos com 2 e os casos com 3 professores dessa matéria.

As comissões devem ter, no máximo, 2 químicos. Com isso, é preciso analisar os casos com 2, com 1 e, quando possível, com nenhum professor dessa matéria.

Comissão composta por 5 matemáticos, 3 físicos, 2 químicos e 2 de outra matéria (caso Ia):

[tex3]C^7_5\cdot C^3_3\cdot C^4_2\cdot C^4_2[/tex3]

Comissão composta por 5 matemáticos, 3 físicos, 1 químico e 3 de outra matéria (caso Ib):

[tex3]C^7_5\cdot C^3_3\cdot C^4_1\cdot C^4_3[/tex3]

Comissão composta por 5 matemáticos, 3 físicos e 4 de outra matéria (caso Ic):

[tex3]C^7_5\cdot C^3_3\cdot C^4_0\cdot C^4_4[/tex3]

Comissão composta por 5 matemáticos, 2 físicos, 2 químicos e 3 de outra matéria (caso IIa):

[tex3]C^7_5\cdot C^3_2\cdot C^4_2\cdot C^4_3[/tex3]

Comissão composta por 5 matemáticos, 2 físicos, 1 químico e 4 de outra matéria (caso IIb):

[tex3]C^7_5\cdot C^3_2\cdot C^4_1\cdot C^4_4[/tex3]

[ALANSILVA]

csmarcelo, muito obrigado!
Entendi sim seu resumo