Olimpíadas ⇒ (USA IMO Team 2003) Equação Polinomiais Tópico resolvido

[theblackmamba]

Se [tex3]\alpha,\,\beta,\,\gamma[/tex3] são raízes da equação [tex3]x^3-x-1=0[/tex3], calcule o valor da expressão:

[tex3]S=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}+\frac{1-\beta}{1+\beta}+\frac{1-\gamma}{1+\gamma}[/tex3]

Resposta

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[tex3]S=1[/tex3]

[Radius]

vamos mudar um pouquinho para facilitar o latex:
raízes: [tex3]a,\,b,\,c[/tex3]
[tex3]x^3-x-1=0[/tex3]
Das relações de Girard:
[tex3]\begin{cases}a+b+c=0\\ab+bc+ac=-1\\abc=1\end{cases}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}[/tex3]

[tex3]=\frac{(1-a)(1+b)(1+c)+(1-b)(1+a)(1+c)+(1-c)(1+a)(1+b)}{(1+a)(1+b)(1+c)}[/tex3]

Efetuando as continhas vamos ter

[tex3]S=\frac{3+(a+b+c)-(ab+bc+ac)-3abc}{1+(a+b+c)+(ab+bc+ac)+abc}[/tex3]

[tex3]=\frac{3+0+1-3}{1+0-1+1}=\boxed{1}[/tex3]