Ensino Médio ⇒ Ciclo Trigonométrico Tópico resolvido

[rareirin]

No ciclo trigonométrico o arco x, medido em radianos [tex3]\pi < x < \frac{3\pi }{2}[/tex3], terá o mesmo seno, em módulo, que o arco y [tex3](0<y<\frac{\pi }{2})[/tex3] se:

a) [tex3]y = x+2\pi[/tex3]
b) [tex3]y = \pi -2x[/tex3]
c) [tex3]y = x-\pi[/tex3]
d) [tex3]y = \frac{3\pi }{2}[/tex3]
e) [tex3]y = \frac{\pi }{2} + x[/tex3]

Como resolver esse tipo de questão, o que estudar ?

[roberto]

alternativa "c"
É um caso de redução ao primeiro quadrante! Redução do terceiro para o primeiro quadrante!

[rareirin]

Não entendi...

[Vinícius]

Por redução ao 1º quadrante a resposta é imediata, conforme o Roberto disse.

Uma outra forma mais complicada de resolver seria:

[tex3]\pi<x<\frac{3\pi}{2}\\\\0<y<\frac{\pi}{2}\\\\\pi<x+y<2\pi\\\\\frac\pi 2<\frac{x+y}{2}<\pi\quad\text{(I)}[/tex3]

[tex3]\pi<x<\frac{3\pi}{2}\\\\-\frac{\pi}{2}<-y<0\\\\\frac{\pi}{2}<x-y<\frac{3\pi}{2}\\\\\frac{\pi}{4}<x-y<\frac{3\pi}{4}\quad\text{(II)}[/tex3]

[tex3]\left.\begin{array}{c}|\operatorname{sen}x|=|\operatorname{sen}y|\\\operatorname{sen}x<0\\\operatorname{sen}y>0\end{array}\right\}\Longrightarrow \operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y=0\\ 2\operatorname{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)=0[/tex3]

[tex3]\operatorname{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)=0[/tex3] não convém (de I)
ou
[tex3]\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)=0[/tex3]
Da equação acima e do intervalo (II), conclui-se que [tex3]\frac{x-y}{2}=\frac{\pi}{2}\Longrightarrow \boxed{y=x-\pi}[/tex3]

[roberto]

Sem título.png (12.41 KiB) Exibido 1394 vezes

Veja se vc consegue ntender pelo desenho.
x é um arco do 3º quadrante e y é do 1º.
Os valores dos respectivos senos, são: OA' e OA.
Repare que [tex3]x-y=\pi[/tex3]
A linha tracejada corresponde a um ângulo de 180º