IME / ITA ⇒ (ITA - 1991) Matrizes Tópico resolvido

[Juniorsjc]

Sejam M e B matrizes quadrada de ordem n tais que [tex3]M - M^{-1} = B[/tex3]. Sabendo que [tex3]M^t=M^{-1}[/tex3] podemos afirmar que:
(A) [tex3]B^2[/tex3] é a matriz nula
(B) [tex3]B^2=-2I[/tex3]
(C) [tex3]B[/tex3] é simétrica
(D) [tex3]B[/tex3] é anti-simétrica
(E) n.d.a

Resposta

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Alternativa D

[holaquetal]

consideremos M = [tex3]\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)[/tex3] e a transposta de M = [tex3]\left(\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array}\right)[/tex3].
Fazendo [text]M - M^{-1} = [tex3]\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)[/tex3] - [tex3]\left(\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array}\right)[/tex3]
achamos B = [tex3]\left(\begin{array}{cc} 0 & b-c \\ c-b & 0 \end{array}\right)[/tex3].
Logo, tem-se que a matriz B não é simétrica.

[Radius]

o que é uma matriz simétrica??

[gabrielbpf]

Olá, Radius!

Uma matriz é simétrica quando é igual à sua transposta:

[tex3]A=A^t[/tex3]

Uma matriz é antissimétrica quando sua transposta é igual à sua matriz oposta!

[tex3]-A=A^t[/tex3]

Vamos lá: [tex3]B= M- M^{-1}[/tex3].
[tex3]M=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \Longleftrightarrow B=\left(\begin{array}{cc} 0 & b-c \\ c-b & 0 \end{array}\right)[/tex3]

Vê-se claramente que a matriz encontrada é antissimétrica, pois [tex3]-B=B^t=\left(\begin{array}{cc} 0 & c-b \\ b-c & 0 \end{array}\right)[/tex3].

Letra D
Abraços!