IME / ITA ⇒ (ITA - 1976) Função Logarítmica

[emanuel9393MOD]

Considere a função real de variável real
[tex3]M(x) \, = \, \frac{e^{x} \, - \, e^{-x}}{e^{x} \, + \, e^{-x}}[/tex3]
Então:
a) Para todo [tex3]x \, > \, 1[/tex3], [tex3]M(x) \, > \, 1[/tex3];
b) Para todo número real [tex3]x[/tex3], ocorre simultaneamente, [tex3]M(-x) \, = \, - \, M(x)[/tex3] e [tex3]0 \, \leq \, M(x) \, < \, 1[/tex3];
c) Existem: um [tex3]a[/tex3] (número real positivo) e um [tex3]b[/tex3] (número real negativo), tais que: [tex3]M(a) \, < \, M(b)[/tex3]
;
d) [tex3]M(x) \, = \, 0[/tex3], somente quando [tex3]x \, = \, 0[/tex3] e [tex3]M(x) \, > \, 0[/tex3] apenas quando [tex3]x \, < \, 0[/tex3];
e) Nenhuma das alternativas inferiores.

Resposta

---

Gabarito: [tex3]e[/tex3]

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Olá, pessoal!

Por que a alternativa b) está errada? Afinal, temos que:
[tex3]M(-x) \, = \, \frac{e^{-x} \, - \, e^{x}}{e^{x} \, + \, e^{-x}} \, = \, \frac{1 \, - \, e^{2x}}{e^{2x} \, + \, 1} \, = \, - \underbrace{\left(\frac{ e^{2x} \, - \, 1}{e^{2x} \, + \, 1}\right)}_{M(x)} \, = \, - \, M(x)[/tex3]
E outra, M(x) é positiva para [tex3]x[/tex3] real e não é definido [tex3]x[/tex3] para o caso [tex3]M(x) \, > \, 1[/tex3].

O que vocês acham?

[poti]

[tex3]M(x[/tex3]) não é positiva para todo [tex3]x[/tex3] real. Você mesmo não acabou de provar que [tex3]M(-x) = -M(x)[/tex3] ?
Joga [tex3]x = -1[/tex3] nessa história e resultará em [tex3]-M(1)[/tex3], que é negativo.

[tex3]M(x) \, = \, \frac{e^{x} \, - \, e^{-x}}{e^{x} \, + \, e^{-x}} = tanh(x)[/tex3]

As funções hiperbólicas apresentam as mesmas propriedades de paridade que as suas respectivas na trigonometria retangular. Sabendo disso, tiramos que [tex3]tanh(x)[/tex3] é ímpar, pois [tex3]tan(x)[/tex3] é ímpar. Mas:

[tex3]-1 < Im(tanh(x)) < 1, \forall x \in \mathbb{R}[/tex3]

Ou seja, a afirmativa é falsa.

Abraço!

[emanuel9393MOD]

Verdade, Poti!

Falta de atenção minha.
Muito obrigado!