IME / ITA ⇒ (ITA) Análise Combinatória: Permutações Simples Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

No sistema decimal , quantos números de cinco algarismos
(sem repetição ) podemos escrever , de modo que os algarismos 0 , 2 e 4 apareçam agrupados ? Observação : Considerar somente números de 5 algarismos em que o primeiro é diferente de zero .

[triplebig]

Um número de 5 algarismos: AAABB BAAAB BBAAA

Em q AAA são os digitos 0, 2, e 4 agrupados.

Vamos ver o primeiro caso:

AAABB

Há [tex3]3![/tex3] maneiras de se colocar 0, 2, 4 em AAA.

024BB, 042BB, 204BB, 240BB, 402BB, 420BB. Como não pode começar com zero, então só são quatro.

Ai Sobram 7 digitos possíveis para se escrever BB. Assumindo o valor de B como um certo número, para que não haja repetição, ha 6 valores diferentes para o valor do outro B. Assim, BB pode ser escrito de [tex3]7.6=42[/tex3] Maneiras possíveis.

Neste primeiro caso, há 4 maneiras de escrever AAA e 42 de escrever BB. Assim, no caso AAABB, existem [tex3]4.42=168[/tex3] maneiras de se agrupar os números de acordo com o enunciado.

Para os casos BAAAB e BBAAA, o AAA pode ser escrito de 6 maneiras distintas.
E o BB permanece com 42 vezes distintas (não precisa olhar o caso de B ser igual a zero, pois ele ja aparece no AAA.

Assim, para cada um desses 2 casos que sobraram, fica:

42 maneiras de se escrever o BB e 6 de se escrever o AAA. Assim, cada um deles ficará com [tex3]6.42=252[/tex3] maneiras.

Somando as possibilidades dos três casos:

AAABB - 168
BAAAB - 252
BBAAA - 252

[tex3]=672[/tex3] números distintos.

É essa a resposta?

[paulo testoniMOD]

Hola triplebig;

Sim está correta a sua explanação. Fico muito grato pela a sua ajuda. Veja uma outra solução de Hélio Carvalho:

_ _ _ , _ _ --> começando com 2 ou 4 temos --> 2.2.1.7.6 = 168

os 3 algarismos na 2a., 3a. e 4a. posições.
_ , _ _ _ , _ --> 7.3!.6 = 252

os 3 algarismos na 3a., 4a. e 5a. posições.

_ _ , _ _ _ --> 7.6.3! = 252

Logo, são 168 + 252 + 252 = 672

[vinitdasilva]

Nesse segundo caso, quando temos "_ ,_ _ _, _ " não seria correto multiplicar o número de possibilidades por 2 devido a presença da vírgula?

Por exemplo:
3,0249 # 3024,9
Esses dois algarismos são diferentes, porém foram considerados um único número separado por 2 vírgulas(3,024,9)