IME / ITA ⇒ (IME - 1969/1970) Determinante Tópico resolvido

[rodrigosantos]

Calcule o determinante de ordem [tex3]n[/tex3] abaixo, em função de [tex3]a[/tex3] e [tex3]n[/tex3].
[tex3]\begin{vmatrix}a&1&1&\cdots&1\\1&a&1&\cdots&1\\1&1&a&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&a\end{vmatrix}[/tex3]

(A)[tex3]n^{2}+a(n-1)(a+1)^{n}[/tex3]
(B)[tex3](a-1)^{(n+1)}(a+1-n)[/tex3]
(C)[tex3](n+1)(n-1)(a+n)^{(n-1)}[/tex3]
(D)[tex3](a+n-1)(a-1)^{(n-1)}[/tex3]

Resp:

Resposta

---

(D)

[theblackmamba]

Olá rodrigosantos,

Como foi uma questão de prova objetiva podemos o fazer determinante para um caso pequeno, por exemplo para uma matriz [tex3]2\times 2[/tex3]. Veja abaixo:

[tex3]D=\left|\begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & a \end{array}\right|[/tex3]
[tex3]D=a^2-1[/tex3]

Para ver qual das alternativas está certa basta fazer [tex3]n=2[/tex3] nelas e ver qual dá [tex3]D=a^2-1[/tex3]. Feito isso você encontrará a Letra D.

Uma outra hora tentarei (ou outra pessoa do fórum) postar uma solução para o caso geral [tex3]n\times n[/tex3] mais adiante.

Abraço.

[theblackmamba]

Cumprindo o prometido:

Primeiramente vou usar o Teorema de Jacobi o qual diz que a primeira coluna pode ser trocada pela soma das outras colunas. Veja o que podemos fazer:

[tex3]\left|\begin{array}{ccccc}a&1&1&\cdots&1\\1&a&1&\cdots&1\\1&1&a&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&a\end{array}\right|_{n\times n}=\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{ccccc}a+n-1&1&1&\cdots&1\\a+n-1&a&1&\cdots&1\\a+n-1&1&a&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a+n-1&1&1&\cdots&a\end{array}\right|_{n\times n}[/tex3]

Colocando [tex3]a+n-1[/tex3] em evidência:

[tex3](a+n-1)\cdot \left|\begin{array}{ccccc}1&1&1&\cdots&1\\1&a&1&\cdots&1\\1&1&a&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&a\end{array}\right|_{n\times n}[/tex3]


Aplicando a Regra de Chió a matriz reduz-se-a:

[tex3](a+n-1)\cdot \left|\begin{array}{ccccc}a-1&0&0&\cdots&0\\0&a-1&0&\cdots&0\\0&0&a-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&a-1\end{array}\right|_{(n-1)\times (n-1)}[/tex3]

Olha que maravilha !!!
Temos uma matriz de ordem [tex3](n-1)[/tex3] com valores apenas na diagonal principal, cujo determinante é o produto de todos os fatores dessa diagonal.

Logo,

[tex3]\left|\begin{array}{ccccc}a&1&1&\cdots&1\\1&a&1&\cdots&1\\1&1&a&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&a\end{array}\right|_{n\times n}=\,\,\,\,\,(a+n-1)\cdot \underbrace{(a-1)\cdot (a-1)\cdots(a-1)}_{(n-1)\,\text{fatores}}[/tex3]

[tex3]\left|\begin{array}{ccccc}a&1&1&\cdots&1\\1&a&1&\cdots&1\\1&1&a&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&a\end{array}\right|_{n\times n}=\,\,\,\,\,\boxed{(a+n-1)\cdot (a-1)^{(n-1)}}[/tex3]

Grande abraço!