Pré-Vestibular ⇒ (COVEST) Funções Tópico resolvido

[Leandro]

Considere a função [tex3]f(x) = \frac{x . 2^{-x}}{(1 + 2^{-x})^2}[/tex3] definida para todo real x. Podemos firmar que:

( ) [tex3]f(x) = \frac{x . 2^{-x}}{1 + 2^{-x+1} + 2^{-2x}}[/tex3]
( ) [tex3]f(x) = \frac{x}{2^x + 2 + 2^-x}[/tex3]
( ) [tex3]f(x)[/tex3] não assume valores negativos
( ) Existe um único real a tal que [tex3]f(a) = 0[/tex3]
( ) [tex3]0 < f(100) < 10^{-28}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: V V F V V

[jrneliodias]

Olá, Leandro.

[tex3]\frac{x . 2^{-x}}{(1 + 2^{-x})^2}=\frac{x . 2^{-x}}{(1 +2\cdot2^{-x}+ 2^{-2x})}=\boxed{\frac{x . 2^{-x}}{1 +2^{-x+1}+ 2^{-2x}}}=\frac{x}{2^x\,(1 +2^{-x+1}+ 2^{-2x})}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{x}{2^x+2+ 2^{-x}}}[/tex3]

primeira e segunda estão certas

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[tex3]f(x)[/tex3] assume valores negativos quando [tex3]x<0[/tex3]


[tex3]f(a)=0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,a=0[/tex3]


Para responder o essa perguntas, olhe para esse [tex3]\frac{\boxed{x} . 2^{-x}}{(1 + 2^{-x})^2}[/tex3]

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[tex3]f(100)=\frac{100. 2^{-100}}{(1 + 2^{-100})^2}=\frac{100. 2^{-100}}{2^{-200}(2^{100} +1)^2}=\frac{100}{2^{-100}(2^{100} +1)^2}=\frac{100}{2^{100}+5}[/tex3]

Pelo teorema do absurdo:

[tex3]\frac{100}{2^{100}+5}<10^{-28}\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\frac{10^{30}}{2^{100}+5}<0[/tex3] Bsurdo.


Espero ter ajudado, abraço

[Leandro]

Muito obrigado jrneliodias