Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 1996) Trigonometria no Triângulo Retângulo Tópico resolvido

[laisa]

Eratóstenes foi um grande matemático grego que viveu no século II a.C. e conseguiu calcular a medida da circunferência da Terra, medindo comprimentos das sombras de uma estaca. Um procedimento semelhante pode ser usado para calcular a altura da torre de televisão de Brasília, a partir de sua sombra. Suponha que, no dia [tex3]23[/tex3] de setembro, os raios solares, que são considerados paralelos, incidem, ao meio-dia, perpendicularmente sobre a superfície da Terra ao longo da linha do Equador. Nessa data, que marca o equinócio da primavera, a sombra projetada pela torre, ao meo-dia, mede [tex3]58\text{ m}[/tex3]. Sabe-se que a torre está situada no paralelo [tex3]15[/tex3] de latitude sul, isto é, a [tex3]15^o[/tex3] ao sul do Equador. Tomando [tex3]\frac{26}{15}[/tex3] como valor aproximado para [tex3]\sqrt3[/tex3], calcule, em decâmetros, a altura da torre e desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

Resposta

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resposta: 21

[ALDRINMOD]

Resolução que tenho na Apostila:

Figura.jpg (22.02 KiB) Exibido 2122 vezes

No triângulo [tex3]ABC[/tex3] da figura acima, [tex3]h[/tex3] representa a altura da Torre.

Assim,

[tex3]tg75^\circ=\frac{h}{58}[/tex3]
[tex3]tg(30^\circ+45^\circ)=\frac{h}{58}[/tex3]
[tex3]\frac{tg30^\circ+tg45^\circ}{1-tg30^\circ.tg45^\circ}=\frac{h}{58}[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{\sqrt3}{3}+1}{1-\frac{\sqrt3}{3}.1}=\frac{h}{58}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt3+3}{3-\sqrt3}=\frac{h}{58}[/tex3]

Adotando a aproximação [tex3]\sqrt3 \approx \frac{26}{15}[/tex3], tem-se:

[tex3]\frac{\sqrt3+3}{3-\sqrt3}=\frac{h}{58}[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{26}{15}+3}{3-\frac{26}{15}}=\frac{h}{58}[/tex3]
[tex3]\frac{71}{19}=\frac{h}{58}[/tex3]

[tex3]h=\frac{71.58}{19}[/tex3]
[tex3]h\approx216,7\text{ m}[/tex3]
[tex3]h\approx21,67\text{ m}[/tex3]

Portanto, a resposta é:

[tex3]\boxed{\boxed{ 21}}[/tex3]