Pré-Vestibular ⇒ (UFBA - 2004) Geometria Analítica: Cônicas | Hipérbole

[b4]

Determine a área do quadrilátero [tex3]ABCD,[/tex3] no qual [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são os vértices da cônica [tex3]9x^2-4y^2=36,[/tex3] e [tex3]B[/tex3] e [tex3]D[/tex3] são os pontos de intersecção dessa cônica com a reta que contém a bissetriz do primeiro quadrante.

[John]

Oi b4,

Temos que a equação equivalente é

• [tex3]\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1.[/tex3]

Neste caso, os vértices da hipérbole são [tex3]V_1 = (-2, 0)[/tex3] e [tex3]V_2 = (2, 0).[/tex3]

Os pontos de intersecção dessa cônica com a reta que contém a bissetriz do primeiro quadrante são dados pelo sistema de equações:

• [tex3]\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1[/tex3] e [tex3]y = x.[/tex3]

Resolvendo este sistema, obtemos os pontos de intersecção: [tex3]P_1 = \left(-\frac{6}{\sqrt{5}}, - \frac{6}{\sqrt{5}}\right)[/tex3] e [tex3]P_2 = \left(\frac{6}{\sqrt{5}}, \frac{6}{\sqrt{5}}\right)[/tex3]

Sejam [tex3]A = P_1[/tex3], [tex3]B = V_1[/tex3], [tex3]C = P_2[/tex3] e [tex3]D = V_2[/tex3].

A área do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] é dada por

• [tex3][ABCD] = [ABD] + [BCD] = 2\cdot [ABD] = 2\cdot \frac{b\cdot h}{2} = b\cdot h = 4\cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{5}}{5}.[/tex3]

Nota: [tex3][XYZW][/tex3] denota a área do polígono de vértices [tex3]X,Y, Z \text{ e } W.[/tex3]

[b4]

É isso mesmo, John.Obrigado