Pré-Vestibular ⇒ (UFCG - 2006) Geometria Analítica: Cônicas | Elipse Tópico resolvido

[Rayanne]

A equação de uma determinada elipse pode ser obtida usando as seguintes informações:

I. Seu centro é o foco da parábola [tex3]x=y^2 .[/tex3]
II. Seu eixo menor tem comprimento igual à distância entre as retas [tex3]y-x= 1[/tex3] e [tex3]x-y= 1 .[/tex3]
III. Seu eixo maior está sobre o eixo das abscissas e tem comprimento igual ao perímetro do quadrilátero formado pelas raízes do polinômio [tex3]P(z) = z^4+ 2z^3+ 23z^2 -50z+58,[/tex3] o qual tem [tex3]z= 1+i[/tex3] como uma de suas raízes.

Com base nessas informações, pode-se concluir que a equação da elipse é:

a) [tex3]7(x-4)^2+180y^2=420[/tex3]
b) [tex3]\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+242y^2=121[/tex3]
c) [tex3]x^2+16y^2=80[/tex3]
d) [tex3]9\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+12y^2=1[/tex3]
e) [tex3]4(x-1)^2+3(y-1)^2=12[/tex3]

Resposta:

---

b

[fabit]

A equação procurada tem a forma

• [tex3]\frac{(x-x_0)^2}{\alpha^2}+\frac{(y-y_0)^2}{\beta^2}=1,[/tex3]

onde [tex3]\alpha>\beta[/tex3] e [tex3](x_0,y_0)[/tex3] é o centro da elipse.

I. Comparando [tex3]y^2=2px[/tex3] com [tex3]x=y^2[/tex3] vê-se que [tex3]p=\frac{1}{2}\Rightarrow F=\boxed{\left(\frac{1}{4};0\right)=(x_0,y_0)}[/tex3]

II. A distância entre as retas paralelas [tex3]y =x+1[/tex3] e [tex3]y =x-1[/tex3] é dada por:

• [tex3]d=\frac{|1-(-1)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.[/tex3]

Logo,

• [tex3]\boxed{\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}}[/tex3]

III. [tex3]P(z)[/tex3] só tem coeficientes reais, logo se [tex3]1+i[/tex3] é raiz,[tex3]1-i[/tex3] também é, e aí [tex3]P(z)[/tex3] é divisível por

• [tex3]D(z)=[z-(1+i)][(z-(1-i)]=(z-1-i)(z-1+i)=(z-1)^2+1=z^2-2z+2[/tex3]

Como [tex3]P[/tex3] tem grau [tex3]4[/tex3] e [tex3]D[/tex3] tem grau [tex3]2,[/tex3] vem

• [tex3]P(z)=D(z)Q(z)+R(z),[/tex3]

onde [tex3]R[/tex3] tem grau menor do que [tex3]2[/tex3] ou é identicamente nulo (e tem que ser para a questão estar correta):

• [tex3]\begin{array}{rl} z^4+2z^3+23z^2-50z+58&=(z^2-2z+2)(z^2+az+b)+cz+d \\ &=z^4+(a-2)z^3+(b-2a+2)z^2+(2a-2b+c)z+2b+d .\end{array}[/tex3]

Assim,

• [tex3]\left|\begin{array}{l} a-2=2\\b-2a+2=23\\2a-2b+c=-50\\2b+d=58 \end{array}\right. \Longrightarrow \left|\begin{array}{l} a=4\\b-8+2=23\\8 -2b+c=-50\\2b+d=58 \end{array}\right.[/tex3] [tex3]\Longrightarrow \left|\begin{array}{l} a=4\\b=29\\8 -58+c=-50\\58+d=58 \end{array}\right. \Longrightarrow \left|\begin{array}{l} a=4\\b=29\\c=0\\d=0 \end{array}\right.[/tex3]

De [tex3]z^2+4z+29=0,[/tex3] obtemos as raízes [tex3]{-}2+5i[/tex3] e [tex3]{-}2-5i.[/tex3]

Representando as quatro raízes de [tex3]P[/tex3] no plano Argand-Gauss, obtemos:

• 

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O quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] é um trapézio isósceles cujo perímetro vale [tex3]22.[/tex3] Logo, [tex3]\boxed{\alpha=\frac{22}{2}=11}[/tex3]

Portanto, a equação da elipse é

• [tex3]\frac{\(x-\frac{1}{4}\)^2}{11^2}+ \frac{y^2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=1\Longrightarrow \left(x-\frac{1}{4}\right)^2+242y^2=121.[/tex3]