Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1974) Equação Logaritmos Tópico resolvido

[crsjcarlos]

A solução real da equação [tex3]\sqrt[x]{3} - \sqrt[2x]{3}[/tex3] = 2 é:

resposta:
x = [tex3]\frac{log3}{log4}[/tex3]

[ALDRINMOD]

crsjcarlos, seja bem-vindo ao Fórum.

Por favor, digite também as alternativas, pois também fazem parte da questão.

[VALDECIRTOZZI]

Temos que: [tex3]\sqrt[x]{3}-\sqrt[2x]3=2[/tex3]
[tex3]3^{\frac{1}{x}}-3^{\frac{1}{2x}}=2[/tex3]
[tex3]3^{\frac{1}{x}}-\left(3^{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{2}}=2[/tex3]

fazendo [tex3]3^{\frac{1}{x}}=a[/tex3] [tex3](I)[/tex3], temos:
[tex3]a-a^{\frac{1}{2}}=2\Longleftrightarrow a-\sqrt{a}=2[/tex3]
[tex3]a-2=\sqrt{a}[/tex3]

Elevando ambos membros ao quadrado temos:
[tex3]a^2-4a+4=a \Longleftrightarrow a^2-5a+4=0[/tex3]
[tex3](a-4)(a-1)=0[/tex3]
Tiramos que: [tex3]a=4[/tex3] ou [tex3]a=1[/tex3], sendo que [tex3]a=4[/tex3] é a única solução para a equação irracional.

Substituindo [tex3]a=4[/tex3] em [tex3](I)[/tex3], temos: [tex3]3^{\frac{1}{x}}=4[/tex3]
Aplicando log ambos os membros da equação:
[tex3]\log3^{\frac{1}{x}}=\log4[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x}\log3=\log4[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x}=\frac{\log4}{\log3}\Longleftrightarrow x=\frac{\log3}{\log4}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[ALDRINMOD]

Questão repetida no Fórum:

viewtopic.php?t=10855