Ensino Médio ⇒ Conjuntos Numéricos: Inteiros Tópico resolvido

[Humberto]

Quantos números inteiros positivos e não maiores do que [tex3]432[/tex3] são primos relativos com [tex3]432?[/tex3]

Resposta:

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144

[cajuADMIN]

Olá Humberto,

Fatorando o número [tex3]432[/tex3] chegamos em:

• [tex3]432=2^4\cdot 3^3[/tex3]

Ou seja, para que um número seja primo com [tex3]432[/tex3] não pode ter nenhum fator [tex3]2[/tex3] ou [tex3]3[/tex3] em sua decomposição canônica.

Sendo assim, para encontrar a resposta, devemos ver quantos números menores que [tex3]432[/tex3] não são múltiplos de [tex3]2[/tex3] ou de [tex3]3.[/tex3]

Existem [tex3]216[/tex3] múltiplos de [tex3]2[/tex3] menores do que [tex3]432[/tex3] [tex3]\left(\frac{432}{2}=216\right)[/tex3]

Existem [tex3]144[/tex3] múltiplos de [tex3]3[/tex3] menores do que [tex3]432[/tex3] [tex3]\left(\frac{432}{3}=144\right)[/tex3]

Agora, se fizermos [tex3]432-216-144[/tex3] estaremos errando. Pois, ao retirar os múltiplos de [tex3]2[/tex3] e de [tex3]3[/tex3] estamos tirando duas vezes os múltiplos comuns (ou seja, múltiplos de [tex3]6).[/tex3] Assim, para consertar, devemos ainda somar os múltiplos de [tex3]6[/tex3] (que são em quantidade de [tex3]\frac{432}{6}=72).[/tex3] Portanto, a resposta final é

• [tex3]432-216-144+72=144.[/tex3]