Demonstrações ⇒ Fórmula de Snell Tópico resolvido

[Rafael16]

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Olá pessoal, gostaria que me explicasse a relação:

[tex3]\frac{v_{1}}{\text{sen }\theta _{1}}=\frac{v_{2}}{\text{sen }\theta _{2}}[/tex3]

Valeu!

[mvasantos]

E ai, vamos lá.

Sabemos que:
[tex3]n = \frac{c}{v} (I)[/tex3]

Logo,

[tex3]n_1\cdot {\text{sen }\theta _{1}}= n_2\cdot {\text{sen }\theta _{2}} (II)[/tex3]

Colocando I em II

[tex3]\frac{c}{v_1}\cdot {\text{sen }\theta _{1}}= \frac{c}{v_2}\cdot {\text{sen }\theta _{2}}[/tex3] (Cortamos os C e temos:)

[tex3]\boxed{\frac{\text{sen }\theta _1}{v_1}= \frac{\text{sen }\theta _2}{v_2}}[/tex3]

[Vinícius]

Consideremos um raio de luz que parte de [tex3]A[/tex3], no meio 1, em que sua velocidade tem intensidade [tex3]V_1[/tex3], até [tex3]C[/tex3], no meio 2, onde sua velocidade é [tex3]V_2[/tex3] passando pelo ponto [tex3]B[/tex3] (que pertence à superfície de separação entre os meios, cujos índices de refração são [tex3]n_1[/tex3] e [tex3]n_2[/tex3], respectivamente).
Sejam [tex3]h_1[/tex3] e [tex3]h_2[/tex3], respectivamente, as distâncias entre a superfície de separação e os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3], e [tex3]l[/tex3] a distância entre as projeções de [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] sobre a superfície de separação. O ponto [tex3]B[/tex3] será aquele para o qual o trajeto [tex3]ABC[/tex3] seja percorrido em menor tempo.

Imagem 20121127184141.png (18.44 KiB) Exibido 8469 vezes

A velocidade da luz em cada meio é constante, portanto:

[tex3]V=\frac{\Delta s}{\Delta t}\Longrightarrow \Delta t=\frac{\Delta s}{V}[/tex3]

[tex3]t=\Delta t_1+\Delta t_2[/tex3]

[tex3]t=\frac{AB}{V_1}+\frac{BC}{V_2}[/tex3]

Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos [tex3]AA'B[/tex3] e [tex3]CC'B[/tex3] e substituindo as distâncias, temos:

[tex3]t=\frac{1}{V_1}\cdot\sqrt{h_1^2+x^2}+\frac{1}{V_2}\cdot\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}[/tex3]

Para que o intervalo de tempo seja mínimo, [tex3]\frac{dt}{dx}=0[/tex3].

[tex3]\frac{1}{V_1}\cdot\frac{1}{2\sqrt{h_1^2+x^2}}\cdot 2x+\frac{1}{V_2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}}\cdot(-2l+2x)=0[/tex3]

[tex3]\frac{1}{V_1}\cdot\frac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}}=\frac{1}{V_2}\cdot\frac{l-x}{\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}}\qquad\text{(I)}[/tex3]

Ainda nos triângulos [tex3]AA'B[/tex3] e [tex3]CC'B[/tex3], obtêm-se as relações trigonométricas:

[tex3]\operatorname{sen}\theta_1=\frac{A'B}{AB}=\frac{x}{\sqrt{h_1^2+x^2}}[/tex3]

[tex3]\operatorname{sen}\theta_2=\frac{BC'}{BC}=\frac{l-x}{\sqrt{h_2^2+(l-x)^2}}[/tex3]

Substituindo em [tex3]\text{(I)}[/tex3]:

[tex3]\frac{1}{V_1}\cdot\operatorname{sen}\theta_1=\frac{1}{V_2}\cdot\operatorname{sen}\theta_2\qquad\text{(II)}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{V_{1}}{\operatorname{sen}\theta_{1}}=\frac{V_2}{\operatorname{sen}\theta_2}}[/tex3]

De [tex3]\text{(II)}[/tex3], multiplicando ambos os membros por [tex3]c[/tex3] (módulo da velocidade da luz no vácuo):

[tex3]\frac{c}{V_1}\cdot\operatorname{sen}\theta_1=\frac{c}{V_2}\cdot\operatorname{sen}\theta_2[/tex3]

Como [tex3]n=\frac{c}{V}[/tex3]:

[tex3]\boxed{\boxed{n_1\cdot\operatorname{sen}\theta_1=n_2\cdot\operatorname{sen}\theta_2}}[/tex3]

Essa é a lei de Snell-Descartes.

Portanto, para que o caminho percorrido pela luz seja aquele em que seja gasto o menor tempo, esta deve ser a relação entre os ângulos de incidência e refração e os índices de refração.

[mvasantos]

Finalmente alguém realmente demonstrou a formula.