Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear: Transformações Lineares

[djcharlesx]

T: [tex3]R^3[/tex3] -> [tex3]R^2[/tex3] tal que T(x,y,z) = (x+y,y+z) ache:

A) Nuc(t)
B) dim(nuc(t))
D) Im(t)
C) dim(im(t))
E) é Injetora ?
F) é sobrejetora ?

Alguém pode me ajudar ? pq amanhã é o exame final e a professora irá dar o mesmo exercício.
Obrigado,

Charles

[John]

A) [tex3]Nuc(T) = \{(x, y, z) \in R^{3}: T(x, y, z) = (0, 0)\}[/tex3]. Então,

[tex3]T(x, y, z) = (0, 0) \Longleftrightarrow (x+y, y+z) = (0, 0) \Longleftrightarrow x+y =0[/tex3] e [tex3]y+z = 0 \Longleftrightarrow x = -y[/tex3] e [tex3]z = -y[/tex3].

Assim, [tex3]Nuc(T) = \{(-y, y, -y): y \in R\}[/tex3].

Vixe preciso ir agora...vou tentar voltar mais tarde e terminar de resolver....

[djcharlesx]

A) [tex3]Nuc(T) = \{(x, y, z) \in R^{3}: T(x, y, z) = (0, 0)\}[/tex3]. Então,

[tex3]T(x, y, z) = (0, 0) \Longleftrightarrow (x+y, y+z) = (0, 0) \Longleftrightarrow x+y =0[/tex3] e [tex3]y+z = 0 \Longleftrightarrow x = -y[/tex3] e [tex3]z = -y[/tex3].

Assim, [tex3]Nuc(T) = \{(-y, y, -y): y \in R\}[/tex3].

Vixe preciso ir agora...vou tentar voltar mais tarde e terminar de resolver....

OK

[John]

B) Como qualquer vetor (x, y, z) pertencente ao núcleo pode ser escrito da forma
(x, y, z) = (-y, y, -y) = y(-1, 1, -1), temos que o vetor (-1,1,-1) gera qualquer outro vetor do núcleo. Neste caso, (-1,1,-1) é o único vetor da base do núcleo. Portanto, dim(Nuc(T)) = 1.

C) [tex3]Im (T) = R^{2}[/tex3]. De fato, dado [tex3](x_0, y_0) \in R^{2}[/tex3], temos que tomando o ponto [tex3](x, y, z) = (x_0, 0 , y_0) \in R^{3}[/tex3],

[tex3]T(x, y, z) = T(x_0, 0, y_0) = (x_0 + 0, y_0 + 0) = (x_0, y_0)[/tex3].

D) Como [tex3]Im(T) = R^{2}[/tex3], temos que dim(Im(T)) =2.

E) T não é injetora, pois

[tex3]T(2, 0, 2) = (2, 2)[/tex3] e [tex3]T(1,1,1) = (2, 2)[/tex3].

Note que para T ser injetora, o núcleo de T deveria ter dimensão zero...o que não acontece nesse caso como mostra o item B).

F) T é sobrejetora pois dim(Im(T)) = 2 ... que é a dimensão do contra-domínio!!

Até mais...e boa sorte na prova!!!