IME / ITA ⇒ (EsPCEx - 2012) Números Complexos Tópico resolvido

[lmedeiros]

A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação [tex3]x^{3}-8=0[/tex3] tem área igual a

A) [tex3]7\sqrt{3}[/tex3]
B) [tex3]6\sqrt{3}[/tex3]
C) [tex3]5\sqrt{3}[/tex3]
D) [tex3]4\sqrt{3}[/tex3]
E) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

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Resposta:E

[Juniorsjc]

Olá cara! Vamos a resolução do seu problema:

Usando o produto notável: [tex3]a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)[/tex3]
Temos que a equação fica a seguinte:

[tex3]x ^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x +4) = 0[/tex3]
Vemos facilmente que 2 é raiz e que as duas raízes restantes são as raízes da seguinte equação: [tex3]x^2 + 2x +4 = 0[/tex3]
Resolvendo essa equação aplicando bháskara chegaremos aos seguintes resultados:

[tex3]x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}[/tex3]

Logo as raízes de [tex3]x ^3 - 8 = 0[/tex3] são:
[tex3]S = {(2, -1-i\sqrt{3}, -1+i\sqrt{3})}[/tex3]

Percebemos então que os afixos dessas raízes no plano complexo são:
[tex3](2,0), (-1, \sqrt{3}) \ e \ (-1,-\sqrt{3})[/tex3]

São três pontos, logo esses afixos determinam um triângulo no plano complexo.
Da Geometria Analítica sabemos que dados os pontos [tex3]A(x_a, y_a), B(x_b, y_b) \ e \ C(x_c, y_c)[/tex3]. Pode-se calcular a área do triângulo com vértices nesses pontos a partir da relação:

[tex3]A = \frac{\begin{Vmatrix}
x_a &y_a &1 \\ x_b &y_b &1 \\ x_c & y_c & 1\end{Vmatrix}}{2}[/tex3]

Logo, com os afixos achados, fica assim:
[tex3]A = \frac{\begin{Vmatrix}
-1 &\sqrt{3} &1 \\ -1 &-\sqrt{3} &1 \\ 2 & 0 & 1\end{Vmatrix}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = \boxed {\boxed{{3\sqrt{3}}}}[/tex3]

Abraços.

[lmedeiros]

Obrigado cara,sabe quando eu tentei fazer essa questão,achei q 2 era raiz tripla,não pensei q tinha outras raizes,e tinha que transformar em equação de segundo grau.Obrigado