Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1971) Funções Quadráticas e Trigonométricas Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

É dada a equação:
[tex3]\left(2 \cos^{2} \alpha\right) x^{2} \, - \, \left(4 \cos \alpha\right) x \, + \, \left(4 \cos^{2} \alpha \, - \, 1\right) \, = \, 0[/tex3]
Sendo [tex3]0 \, \leq \, \alpha \, \leq \, \pi[/tex3].
a) Para que valores de [tex3]\alpha[/tex3] a equação tem soluções reais?
b) Para que valores de [tex3]\alpha[/tex3] a equação admite raízes reais negativas?

Resposta

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a) [tex3]\{ \alpha \, \in \, \mathbb{R} \, | \, \,\,\frac{\pi}{6} \, \leq \, \alpha \, \leq \, \frac{5 \pi}{6}\}[/tex3]
b) [tex3]\{ \alpha \, \in \, \mathbb{R} \, | \, \,\,\frac{2\pi}{3} \, < \, \alpha \, \leq \, \frac{5 \pi}{6}\}[/tex3]

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Olá, Pessoal!

A minha dúvida é justamente sobre a letra b). Quem quiser se divertir com a letra a), fique a vontade!

Um abraço!

[Vinícius]

a)

Para ter soluções reais: discriminante não-negativo.

[tex3]16\cos^2\alpha-8\cos^2\alpha\cdot\left(4\cos^2\alpha-1\right)\geq 0[/tex3]

[tex3]8\cos^2\alpha\cdot\left(2-4\cos^2\alpha+1\right)[/tex3]

Como [tex3]\cos^2\alpha>0[/tex3] (pois o valor nulo transformaria a equação original em uma falsa igualdade):

[tex3]-4\cos^2\alpha+3\geq 0[/tex3]

[tex3]\cos^2\alpha\leq \frac{3}{4}[/tex3]

[tex3]-\frac{\sqrt3}{2}\leq \cos\alpha\leq \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

[tex3]\left\{\alpha\in\mathbb{R}\,\middle|\,\frac{\pi}{6}\leq\alpha<\frac{\pi}{2}\text{ ou }\frac{\pi}{2}<\alpha\leq\frac{5\pi}{6}\right\}[/tex3]

O gabarito está errado, uma vez que incluiu [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3].

b)

Para ter as duas soluções negativas, [tex3]x_1+x_2<0[/tex3] e [tex3]x_1x_2>0[/tex3].

[tex3]\frac{4\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}<0\text{ e }\frac{4\cos^2\alpha-1}{2\cos^2\alpha}>0[/tex3]

[tex3]4\cos\alpha<0\text{ e }4\cos^2\alpha-1>0[/tex3]

[tex3]\cos\alpha<0\text{ e }\left(\cos\alpha<-\frac{1}{2}\text{ ou }\cos\alpha>\frac{1}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\cos\alpha<-\frac{1}{2}[/tex3]

Mas, do item (a):

[tex3]-\frac{\sqrt3}{2}\leq \cos\alpha\leq \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

Então:

[tex3]-\frac{\sqrt3}{2}\leq \cos\alpha< -\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\left\{\alpha\in\mathbb{R}\,\middle|\,\frac{2\pi}{3}<\alpha\leq\frac{5\pi}{6}\right\}[/tex3]