Ensino Médio ⇒ Inequações Trigonométricas Tópico resolvido

[Juniorsjc]

Para que valores [tex3]x, x\in [0,2\pi ][/tex3], verifica-se a desigualdade:

[tex3]\log_{\cos x }(2\cos x -1) + \log _{\cos x }(1+\cos x ) >1[/tex3]

Resposta

---

[tex3]S = \left(x\in \mathbb{R}|\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{3} \ ou \ \frac{5\pi }{3} < x < \frac{7\pi}{4}\right)[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Olá, Juniorsc!

C.E.:
[tex3]\begin{cases}2 \cos x \, - \, 1 \, > \, 0 \\ \cos x \, \neq \, 1\end{cases} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{1}{2} \, < \, \cos \, x \, \neq \, 1 \,\,\,\,\, (1)[/tex3]
Transformando a equação:
[tex3]\log_{\cos x} \left(2 \cos x \, - \, 1\right) \, + \, \log_{\cos x} \left(1 \, + \, \cos x\right) \, > \, 1 \\ \\ \,\,\, \Rightarrow \,\, \log_{\cos x} \left(2 \cos^{2} x \, + \, \cos \, x \, - \, 1\right) \, > \, 1[/tex3]
Levando em conta a Imagem da função [tex3]f\left(x\right) \, = \, \cos x[/tex3], analisaremos somente para o caso [tex3]0 \, < \, \cos x \, < \,1[/tex3]:
[tex3]\log_{\cos x} \left(2 \cos^{2} x \, + \, \cos \, x \, - \, 1\right) \, > \, 1 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 2 \cos^{2} x \, + \, \cos \, x \, - \, 1 \, < \, \cos x \\ \\ \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 2 \cos^{2} x \, - \, 1 < \, 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, - \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, < \, \cos x \, < \, \frac{\sqrt{2}}{2} \,\,\, (2)[/tex3]
Fazendo a interseção de [tex3](1)[/tex3] com [tex3](2)[/tex3], encontramos:
[tex3]\frac{1}{2} \, < \, \cos x \, < \, \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
Examinando o ciclo, a resposta seria a seguinte:
[tex3]\frac{\pi}{4} \, + \, 2k \pi \, < \, x \, < \, \frac{\pi}{3} \, + \, 2 k \pi \,\,\,\,\,\, ou \,\,\,\,\,\,\, \frac{5\pi}{3} \, + \, 2k \pi \, < \, x \, < \, \frac{7\pi}{4} \, + \, 2k\pi[/tex3]
Mas, como devemos ter [tex3]x \, \in \, [0,2\pi][/tex3], vamos atribuir [tex3]k \, = \, 0[/tex3]. Com isso, finalmente chegamos a resposta:
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{\pi}{4} \, < \, x \, < \, \frac{\pi}{3} \,\,\,\,\,\, ou \,\,\,\,\,\,\, \frac{5\pi}{3} \, < \, x \, < \, \frac{7\pi}{4}}}[/tex3]
Um abraço!