Ensino Superior ⇒ Cálculo III - Volume de um Sólido Tópico resolvido

[eduspfc]

O volume de um solido de revolução em torno do eixo Ox é dada por [tex3]\pi[/tex3] [tex3]\int\limits_{a}^{b}[f(x)]^2dx[/tex3]

Com isso, tenho que encontrar o volume do sólido de revolução em torno do eixo Ox, da seguinte função:
[tex3]f(x)= x\sqrt{sen(\pi x)},\,\, f\,\,:\,\,[0,1][/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

MSP38541hef5g7h956959e800002hdi336g41g73gce.gif (4.22 KiB) Exibido 424 vezes

[tex3]V = π.\int\limits_{0}^{1}x^2.sen(πx) \ dx[/tex3]

Aplicaremos aqui a técnica de integração por partes duas vezes, temos

[tex3]\int\limits_{}^{}u \ dv = u.v - \int\limits_{}^{} v \ du[/tex3]

Daí,

u = x² → du = 2x dx ;

dv = sen ( πx ) dx → [tex3]\int\limits_{}^{}dv = \int\limits_{}^{} sen (πx) \ dx[/tex3] → v = - ( 1/π ).cos ( πx ).

Então,

[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.sen(πx) \ dx = x^2.\left[ - \frac{ cos (πx)}{π}\right] \ + \ \frac{2}{π}.\int\limits_{}^{}x.cos(πx) \ dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.sen(πx) \ dx = - \frac{ x^2.cos (πx)}{π} \ + \ \frac{2}{π}.\int\limits_{}^{}x.cos(πx) \ dx[/tex3]


Mais uma vez, integrando por partes a integral [tex3]\int\limits_{}^{}x.cos(πx) \ dx[/tex3] temos que

u = x → du = dx;

dv = cos ( πx ) dx → [tex3]\int\limits_{}^{}dv = \int\limits_{}^{}cos (πx) \ dx[/tex3] → v = ( 1/π ).sen ( πx ).

Substituindo, fica;

[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.sen(πx) \ dx = - \frac{ x^2.cos (πx)}{π} \ + \ \frac{2}{π}.\left[x.\frac{sen(πx)}{π} \ - \ \frac{1}{π}\int\limits_{}^{}sen(πx) \ dx\right][/tex3]

Agora a integral ficou bem mais tranquila, pois se trata de uma integral "imediata" , resulta que

[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.sen(πx) \ dx = - \frac{ x^2.cos (πx)}{π} \ + \ \frac{2x.sen(πx)}{π^2} \ + \ \frac{2cos(πx) }{ π^3 }[/tex3]

Cuidado!!! Não podemos esquecer que todo esse resultado aí, está sendo multiplicado por ( π ), que é o resultado da integral original.... Dito isso, obtemos

[tex3]V = \left[ - x^2.cos (πx) \ + \ \frac{2x.sen(πx)}{π} \ + \ \frac{2cos(πx) }{ π^2 } \right]_0^1[/tex3]

V = - cos(π) + (2/π).sen(π) + (2/π²).cos(π) + 0 - 0 - (2/π²).cos(0)

V = 1 + 0 - (2/π²) - (2/π²)

Logo,

V = ( π² - 4 )/π² u.v.



Excelente estudo!