Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana - Pontos Notáveis Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Na figura abaixo, calcule o valor de [tex3]x[/tex3] em função do [tex3]\angle C[/tex3], sendo [tex3]L[/tex3]: ortocentro e [tex3]I[/tex3]: incentro.

Circ.jpg (30.03 KiB) Exibido 1052 vezes

(A) [tex3]\hat{C}[/tex3].
(B) [tex3]\hat{C}/2[/tex3].
(C) [tex3]2\angle C[/tex3].
(D) [tex3]90^\circ-3\angle C/2[/tex3].
(E) [tex3]90^\circ-\angle C[/tex3].

[VALDECIRTOZZI]

Consideremos a figura:

Círcunferência.jpg (28.7 KiB) Exibido 1015 vezes

Temos que o arco [tex3]AB[/tex3] mede [tex3]2C[/tex3], o arco [tex3]BC[/tex3] mede [tex3]2A[/tex3] e o arco [tex3]AC[/tex3] mede [tex3]2B[/tex3].

O segmento [tex3]BE[/tex3] é a altura do [tex3]\Delta ABC[/tex3] em relação ao lado [tex3]AC[/tex3], com isso o [tex3]\Delta BDC[/tex3] é retângulo em [tex3]D[/tex3]. Agora como [tex3]BH[/tex3] é incentro, podemos escrever:
[tex3]k+\frac{B}{2}+90^o+C=180^o[/tex3]
[tex3]k=90-C-\frac{B}{2}[/tex3]

Com isso temos que o arco [tex3]EH=180-2C-B[/tex3] [tex3](I)[/tex3]

O segmento [tex3]AG[/tex3] é a altura do [tex3]\Delta ABC[/tex3] em relação ao lado [tex3]BC[/tex3], com isso o [tex3]\Delta AFC[/tex3] é retângulo em [tex3]F[/tex3]. Agora como [tex3]AJ[/tex3] é incentro, podemos escrever:
[tex3]y+\frac{A}{2}+90^o+C=180^o[/tex3]
[tex3]y=90-C-\frac{A}{2}[/tex3]

Com isso temos que o arco [tex3]GJ=180-2C-A[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

Podemos escrever que o ângulo [tex3]x[/tex3] é dado por:
[tex3]\frac{GJ+EH}{2}=x[/tex3]
[tex3]\frac{180-2C-B+180-2C-A}{2}=x[/tex3]
[tex3]\frac{360-4C-(A+B)}{2}=x[/tex3]
[tex3]\frac{360-4C-(180-C)}{2}=x[/tex3]
[tex3]\frac{180-3C}{2}=x[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{90-\frac{3C}{2}=x}}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[Vinisth]

O segmento [tex3]BE[/tex3] é a altura do [tex3]\Delta ABC[/tex3] em relação ao lado [tex3]AC[/tex3], com isso o [tex3]\Delta BDC[/tex3] é retângulo em [tex3]B[/tex3]. Agora como [tex3]BH[/tex3] é incentro, podemos escrever:

Muito boa solução !! Você só errou em dizer que o [tex3]\Delta ABC[/tex3] é retândulo em [tex3]B[/tex3]. Ele é retângulo em [tex3]D[/tex3].

Um forte abraço à todos !