IME / ITA ⇒ Geometria Plana: Retângulo Inscrito em um Círculo Tópico resolvido

[rean]

Um círculo de raio [tex3]\sqrt {2}[/tex3] está dividido em 8 partes iguais, como mostra a figura. A área do retângulo assinalado é:

a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]\sqrt {2}[/tex3]
c) [tex3]2[/tex3]
d) [tex3]4[/tex3]
e) NRA.

octo.jpg (16.05 KiB) Exibido 4469 vezes

[tex3]\,[/tex3]

[fabit]

Dividido em 8 partes iguais, cada arco fica valendo 45 graus, ou em rad, pi/4.

Aí eu invoco a fórmula do segmento circular [tex3]S=\frac{r^2}{2}\(\theta-\sin\theta\)[/tex3], com theta em radianos.

tem 2 segmentos circulares encostados nos lados menores do retângulo, com theta=pi/4 e outros dois encostados nos lados maiores, com theta=3pi/4.

Do círculo inteiro, deduzimos esses 4 segmentos circulares e chegamos à  resposta:

-- ENTENDIDO?
-- CAVEIRA!

segmentos menores: [tex3]2\times\frac{2}{2}\(\frac{\pi}{4}-\sin{\frac{\pi}{4}}\)=2\times\(\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\)=\frac{\pi}{2}-\sqrt{2}[/tex3]

os maiores: [tex3]2\times\(\frac{3\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\)=\frac{3\pi}{2}-\sqrt{2}[/tex3]

Somou:
[tex3]\frac{4\pi}{2}-2\sqrt{2}=2\pi-2\sqrt{2}[/tex3]

Desconta do universo de 2pi, que é o círculo todo:
[tex3]S=2\pi-\(2\pi-\sqrt{2}\)=\sqrt{2}[/tex3]

Letra BRAVO, capitão!

[ALANSILVA]

O gabarito é esse mesmo ?

[ALANSILVA]

O gabarito no livro do Morgado marca letra C. A solução do fabit não bate com gabarito

[petrasMOD]

ALANSILVA,

Não encontrei nenhuma resposta das alternativas

Temos os os triângulos AGE e ADH com mesma área e AGD e AEH também com mesma área.
A área do retângulo será a somatória dos 4 triângulos

[tex3]\mathtt{Ângulo\ GÂE = \frac{360^o }{8} = 45^o\\
S\Delta_{GAE} = \frac{1}{2}.r^2.sen45^o=\frac{1}{2}.\sqrt{2}^2.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
S\Delta_{EAH}=\frac{1}{2}.r^2.sen135^o = \frac{\sqrt{2}}{2}\\
S_\Box {GDHE}=2(S\Delta_{GAE}+2\Delta_{EAH})=2.\frac{2\sqrt{2}}{2}=\boxed{\color{red}2\sqrt{2}}}[/tex3]

[NathanMoreira]

Outra solução é usando duas vezes a Lei dos Cossenos.

Screenshot_4.png (123.74 KiB) Exibido 2587 vezes

[tex3]h^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}-2.\sqrt{2}.\sqrt{2}.cos45^{\circ}[/tex3]
[tex3]h^{2}=2+2-2.2.\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]h^{2}=4-2\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]h=\sqrt{4-2\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]b^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}-2.\sqrt{2}.\sqrt{2}.cos135^{\circ}[/tex3]
[tex3]b^{2}=2+2-2.2.\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]
[tex3]b^{2}=4+2\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]b=\sqrt{4+2\sqrt{2}}[/tex3]

Portanto, a área do retângulo será:

[tex3]A=b.h[/tex3]
[tex3]A=\sqrt{4-2\sqrt{2}}[/tex3] . [tex3]\sqrt{4+2\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]A=\sqrt{(4-2\sqrt{2}).(4+2\sqrt{2})}[/tex3]
[tex3]A=\sqrt{(4)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}[/tex3]
[tex3]A=\sqrt{16-8}[/tex3]
[tex3]A=\sqrt{8}[/tex3]
[tex3]A=2\sqrt{2}[/tex3]

Espero ter ajudado

[petrasMOD]

fabit, ALANSILVA,

O erro está [tex3]S=2\pi-\(2\pi-{\color{red}2}\sqrt{2}\)={\color{red}2}\sqrt{2}[/tex3]

Foi esquecido o 2 antes da raiz

[ALANSILVA]

Obrigado a todos, essa questão é do Geometria II com certeza gabarito está errado

[fabit]

Putz é mesmo! Faltou o 2 fora da raiz quadrada! Só que aí a opção resultante desse ajuste seria a letra E, não acham?

[ALANSILVA]

fabit, sim é letra E