Pré-Vestibular ⇒ (EPUSP - 1956) Trigonometria

[emanuel9393MOD]

Vou compartilhar uma questão interessante aqui:
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Os lados de um triângulo são dados pelas expressões:
[tex3]a \, = \, x^{2} \, + \, x \, + \, 1[/tex3], [tex3]b \, = \, 2x \, + \, 1[/tex3] e [tex3]c \, = \, x^{2} \, - \, 1[/tex3]
Demonstrar que um dos ângulos do triângulo mede [tex3]120^{0}[/tex3].
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Caso ninguém resolva, postarei a minha resolução amanhã nesse mesmo horário.

Divirtam-se!

[Radius]

seja [tex3]\cos A =k[/tex3]

lei dos cossenos:

[tex3]a^2=b^2+c^2-2bck[/tex3]

[tex3](x^2+x+1)^2=(2x+1)^2+(x^2-1)^2-2bck \\ \\ \cancel{x^4}+x^2+1+2x^3+2x^2+2x=4x^2+4x+1+\cancel{x^4}-2x^2+1-2bck \\ \\ 2x^3+3x^2+2x+1=2x^2+4x+2-2bck \\ \\ 2x^3+x^2-2x-1=-2bck[/tex3]

vemos que 1 é raiz do polinômio da esquerda e podemos fatorá-lo, resultando em:

[tex3](x-1)(2x^2+3x+1)=-2(2x+1)(x^2-1)k \\ \\ (x-1)(2x+1)(x+1)=-2(2x+1)(x+1)(x-1)k[/tex3]

dá pra cortar tudo! resta:

[tex3]k=-1/2=\cos A[/tex3]
[tex3]\therefore \,\boxed{A=120^\circ}[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Olá, Radius!

Muito bem, rapaz!