Ensino Médio ⇒ Função Exponencial Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

A soma das abscissas dos pontos em que o gráfico cartesiano da função [tex3]f,[/tex3] definida, para todo [tex3]x[/tex3] real, corta o eixo das abscissas, sendo [tex3]f(x)=2^{3x}-2^{2x}-2^{x+4}+16[/tex3] é:

a) [tex3]2[/tex3]
b) [tex3]{-}2[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]2^2[/tex3]
e) [tex3]{-}2^2[/tex3]

[Eduardo]

bom, não consegui de nenhuma maneira achar as raizes utilizando usanda apenas a equacao.... então a única maneira é uma tentativa um pouco diferente:

se fixer o gráfico das funcões [tex3]2^{3x}[/tex3], [tex3]-2^{2x}[/tex3] e [tex3]-2^{x+4}[/tex3]

verá que a primeira é sempre positiva, as duas outras são sempre negativas.

as diferenças são: a primeira função, para valores de x negativos, é sempre menor em módulo que as outras duas [tex3](-3x<-2x\,\, \text{e}\,\, -3x<x+4[/tex3] para todos os valores de [tex3]x<0)[/tex3] portanto, antes de [tex3]x=0[/tex3] a função sempre decresce (apesar de que, pela natureza das funções exponenciais, quando x comeca a ficar muito negativo, a função decresce bem pouco, aproximando-se do eixo das abcissas)

bom, mas aquele [tex3]16[/tex3] desloca a função em [tex3]16[/tex3] para cima, portanto para valores muito negativos de [tex3]x[/tex3] a função fica perto da reta [tex3]y=16,[/tex3] e então o valor de [tex3]y[/tex3] vem diminuindo imnuindo até pelo menos [tex3]x[/tex3] ser [tex3]0.[/tex3]

agora para os valores positivos de [tex3]x,[/tex3] em algum ponto qualquer, a função irá parar de decrescer. quando [tex3]2^{3x}[/tex3] começar a crescer mais rápido que as outras duas juntas (e isso acontece, mas não consigo mostrar sem usar um gráfico ou uma derivada) elas nunca mais a "alcançam", então a funçao fica crescente.

portanto o gráfico dessa função é mais ou menos o seguinte:

para valores muito negativos a função vem se afastando muito divagar de [tex3]y=16,[/tex3] então ela começa a decrescer mais rápido, e um pouco depois de [tex3]x=0[/tex3] ela começa a decrescer mais devagar até que num ponto ela começa a crescer e não para mais. (algo parecido com uma parábola)

funções dessa maneira (que são sempre decrescentes, e a partir de um ponto sempre crescentes) podem ter [tex3]0,\, 1[/tex3] ou [tex3]2[/tex3] raízes. [tex3]0[/tex3] se não descerem abaixo do eixo, [tex3]1[/tex3] se no ponto que acharem o eixo elas começarem a crescer e [tex3]2[/tex3] nos outros casos.

voltando à questão em si, vamos investigar alguns pontos então: no ponto [tex3]0[/tex3]:

[tex3]y=2^0-2^0-2^4+16 = 0[/tex3]

como sabemos que a função veio descrescendo pelo menos até [tex3]x=0[/tex3] (mas era positiva pra valores muito negativos de [tex3]x)[/tex3] então no ponto [tex3]x=0[/tex3] certamente a função fica negativa, e depois em algum ponto ela começa a crescer encontrando o eixo novamente um pouco mais a frente.

olhando as respostas: a) [tex3]2[/tex3] b) [tex3]{-}2[/tex3] c) [tex3]0[/tex3] d) [tex3]2^2[/tex3] e) [tex3]{-}2^2[/tex3] então podemos ter 2 respostas: c ou d.

para que c ocorra [tex3]2[/tex3] tem que ser raíz também, e para que d ocorra [tex3]4[/tex3] tem que ser raíz.

para [tex3]x=2[/tex3]

[tex3]y=2^6-2^4-2^6+16=0[/tex3]

então [tex3]2[/tex3] é raiz, e como só podem ter duas raízes no máximo, a soma das duas é certamente [tex3]2[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá José e Eduardo,

Para uma prova de vestibular, a abordagem do Eduardo está válida.

Vou dar uma segunda abordagem, algo mais algébrico.

Já que é pedido os pontos de corte no eixo das abscissas, vamos igualar a ZERO.
Podemos rescrever a equação como sendo:

[tex3]2^{3x}-2^{2x}- 2^{x+4}+16=0[/tex3]

[tex3](2^x)^3-(2^x)^2- (2^x)\cdot 2^4+16=0[/tex3]

Agora fazemos uma troca de variável [tex3]2^x=y[/tex3]

[tex3]y^3-y^2-16y+16=0[/tex3]

Vendo que [tex3]y=1[/tex3] é uma das raízes, podemos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini e diminuir um grau esta equação. Aplicando, resulta:

[tex3]y^2-16=0[/tex3]

Que nos dá as outras duas raízes, que são [tex3]y=4[/tex3] e [tex3]y=-4[/tex3].

Desfazendo a troca anterior, ou seja, [tex3]2^x=y[/tex3].

para y=1, [tex3]2^x=1\rightarrow x=0[/tex3]

para y=4, [tex3]2^x=4\rightarrow x=2[/tex3]

para y=-4, [tex3]2^x=-4\rightarrow \textrm{ ABSURDO}[/tex3] pois x é real.

Portanto, a soma que o enunciado pede é 0+2=2.

[Eduardo]

ah sim... ter aprendido calculo me fez esquecer algumas sutilezas do ensino medio

esse exercicio foi proveitoso para mim, pois estou prestando vestibular novamente e nao vou poder usar calculo.. obrigado

[Thales Gheós]

37_funao_th_1.jpg (15.1 KiB) Exibido 290 vezes

minha contribuição é visual:

como se vê pelo gráfico a função corta o eixo x duas vezes nos pontos 0 e 2.

[Eduardo]

bom isso ajuda muito a entender o que eu estava falando pelo menos hehehe... obrigado (o jeito do professor e melhor... mas as vezes voce nao tem outro jeito entao vale tudo)

[mawapa]

Olá Eduardo!!

Muito legal esse desenho do gráfico, vc faz com algum programa especial pra isso?

t+

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Um programa muito bom que pode ser utilizado para desenhar gráficos como o que o Thales apresentou é o Winplot. O link oficial para baixar este programa em português é:

http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wppr32z.exe