Ensino Superior ⇒ Cálculo I - Limites Tópico resolvido

[matheusxb10]

[tex3]\lim_ {x \to0} \frac{\cos(2x)-\cos(3x)}{x^2}[/tex3]

[rareirin]

O limite é uma indeterminação, logo podemos usar a Regra de L'Hôpital, que é usada somente em indeterminações do tipo [tex3]\frac{0}{0}[/tex3] ou [tex3]\frac{\infty }{\infty }[/tex3]. Para aplicar a regra basta somente derivar em cima e embaixo.

[tex3]\lim_ {x \to0} \frac{\cos(2x)-\cos(3x)}{x^2}[/tex3]

Aplicando a regra:

[tex3]\lim_ {x \to0}\frac{-2\sen (2x)-3\sen (3x)}{2x}[/tex3]

Ainda está indeterminado, vamos aplicar a regra mais uma vez:

[tex3]\lim_ {x \to0}\frac{-4\cos (2x)-9\cos (3x)}{2}[/tex3]

Agora podemos resolver:

[tex3]\frac{-4\cos (2x)-9\cos (3x)}{2}=\frac{-4\cos (2.0)-9\cos (3.0)}{2}=\frac{-4-9}{2}=\boxed{-\frac{13}{2}}[/tex3]

Espero ter ajudado.

[theblackmamba]

Olá rareirin,

Você cometeu apenas um erro de sinal.

[tex3]\lim_ {x \to0}\frac{-2\sen (2x)-3\sen (3x)}{2x}[/tex3]

O certo é:

[tex3]\lim_ {x \to0}\frac{3\sen (3x)-2\sen (2x)}{2x}[/tex3]

Onde no final você encontraria:

[tex3]\lim_ {x \to0}\frac{9\cos (3x)-4\cos (2x)}{2}[/tex3]

Aplicando a propriedade da continuidade:

[tex3]\lim_{x\to 0}\,\cos(kx)[/tex3] podemos escrever como [tex3]\cos(\lim_{x\to0}\,kx)=\cos k (\lim_{x\to\,0}\,x)=\cos(0)=1[/tex3]

Logo,
[tex3]\lim_ {x \to0}\frac{9\cos (3x)-4\cos (2x)}{2}=\frac{9-4}{2}=\boxed{\frac{5}{2}}[/tex3]

Abraço!

[rareirin]

Obrigado por corrigir theblackmamba.

Abraços.

[matheusxb10]

Muito Obrigado [:
Mas não teria como demonstrar uma resposta sem usar L'Hopital?

[Radius]

Podemos escrever o coseno como a seguinte série:

[tex3]\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+ \ldots[/tex3]

Então:

[tex3]{\begin{cases} \cos 2x=1-\frac{2^2x^2}{2!}+\frac{2^4x^4}{4!}-\frac{2^6x^6}{6!}+ \ldots \\ \\ \cos 3x=1-\frac{3^2x^2}{2!}+\frac{3^4x^4}{4!}-\frac{3^6x^6}{6!}+ \ldots \end{cases}}[/tex3]

Subtraindo:

[tex3]\cos 2x-\cos 3x=-\frac{2^2x^2}{2!}+\frac{3^2x^2}{2!}+\left(\frac{2^4x^4}{4!}-\frac{3^4x^4}{4!}+\ldots \right)[/tex3]

dividindo os dois lados por [tex3]x^2[/tex3]

[tex3]\frac{\cos 2x-\cos 3x}{x^2}=-\frac{2^2}{2!}+\frac{3^2}{2!}+\left(\frac{2^4x^2}{4!}-\frac{3^4x^2}{4!}+\ldots \right)[/tex3]

agora é só aplicar o limite:

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 2x-\cos 3x}{x^2}=-\frac{2^2}{2!}+\frac{3^2}{2!}+0 =-2+\frac{9}{2}=\boxed{\frac{5}{2}}[/tex3]

[Radius]

outra solução:
vamos usar as seguintes ferramentas:
[tex3]\cos A- \cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\cdot \sin \frac{A-B}{2}[/tex3]
e o limite fundamental [tex3]\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta }{\theta }=1[/tex3]

------------------
vamos reescrever o numerador:

[tex3]\cos 2x-\cos3x=-(\cos3x-\cos2x)=2\sin \frac{5x}{2}\cdot \sin \frac{x}{2}[/tex3]

e agora vamos reescrever o limite:

[tex3]\lim_ {x \to0} \frac{\cos(2x)-\cos(3x)}{x^2}= \lim_ {x \to0}\frac{2\sin \frac{5x}{2}\cdot \sin \frac{x}{2}}{\frac{4}{5}\left(\frac{5x}{2}\right)\cdot \left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

veja que fizemos aparecer os limites fundamentais. Como eles são iguais a 1,

[tex3]\lim_ {x \to0} \frac{\cos(2x)-\cos(3x)}{x^2}= \frac{2}{\frac{4}{5}}=\boxed{\frac{5}{2}}[/tex3]