Pré-Vestibular ⇒ (UNIGRANRIO) Probabilidade Geométrica Tópico resolvido

[alineMOD]

Dois amigos, Ruy e Eduardo, marcaram um encontro na porta da UNIGRANRIO entre meia noite e uma hora da manhã.
Eles combinaram que o primeiro que chegasse esperaria o outro por [tex3]15[/tex3] minutos, no máximo.
Determine a probabilidade desse encontro ocorrer.
(Sugestão: raciocine geometricamente)

[fabit]

A probabilidade geométrica foi tema de uma espetacular lição que tive o privilégio de ter com o Morgado na UERJ.

Temos que deduzir do enunciado que cada um deles chega em um momento qualquer do intervalo de [tex3]60[/tex3] minutos com igual probabilidade (se não for assim temos que ter mais informações).

Não sei fazer figuras ainda, portanto tenha paciência e siga as instruções.

1) desenhe um quadrado com um vértice na origem de um sistema cartesiano de modo que seu interior esteja totalmente contido no primeiro quadrante, isto é, com seus lados representando um intervalo [tex3][0;\ell].[/tex3] Esse [tex3]\ell[/tex3] é, no caso, [tex3]60[/tex3] minutos.

2) A cada ponto [tex3](x;y)[/tex3] desse quadrado associe um par (hora de chegada do Ruy; hora de chegada do Eduardo)

3) Perceba que os pontos da bissetriz do quadrante (pontos nos quais [tex3]x=y)[/tex3] representam os eventos de Ruy e Eduardo chegarem juntos.

4) Então, a reta [tex3]y=x+15[/tex3] é o limite sobre o qual Ruy espera Eduardo e a reta [tex3]y=x-15[/tex3] é o limite sobre o qual Eduardo espera Ruy. Trace essas retas e terá um hexágono formado pela justaposição de dois trapézios isósceles cuja base maior é a diagonal do quadrado.

5) Acho mais fácil calcular a probabilidade de o encontro não ocorrer, representada pela razão [tex3]\frac{2t}{q},[/tex3] onde [tex3]t[/tex3] é a área de cada triângulo fora do hexágono descrito acima e [tex3]q[/tex3] é a área do quadrado.

6) Calculando [tex3]q,[/tex3] temos [tex3]60\times60=3600.[/tex3] Calculando [tex3]t,[/tex3] que é retângulo isósceles de catetos [tex3]45,[/tex3] temos [tex3]t=\frac{45\times 45}{2}[/tex3] donde [tex3]2t=2025.[/tex3]

7) [tex3]1-p=\frac{2025}{3600}\Rightarrow p=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}[/tex3]

Então a probabilidade [tex3]p[/tex3] de Ruy e Eduardo se encontrarem é de [tex3]\frac{7}{16}.[/tex3]