Olimpíadas ⇒ (Tournaments of the Towns - 1993) Polinômios - Inequações Tópico resolvido

[theblackmamba]

Demonstre que se a equação [tex3]x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0[/tex3] tem ao menos uma raíz real, então [tex3]a^2+b^2 \geq 8[/tex3]

[Gaussiano]

Diga que: [tex3]P(x) = x^4 + ax^3 + 2x^2 + bx + 1[/tex3].

Perceba que: [tex3]P(x) = x^4 + ax^3 + 2x^2 + bx + 1 + 2x^2 - 2x^2[/tex3]
[tex3]P(x) = [x^4 - 2x^2 + 1] + [ax^3 + 4x^2 + bx][/tex3]
[tex3]P(x) = [(x^2 - 1)^2] + [ax^3 + 4x^2 + bx][/tex3], mas veja que [tex3](x^2 - 1)^2 \geq 0[/tex3]. Logo:
[tex3]P(x) \geq ax^3 + 4x^2 + bx[/tex3].

Suponha que uma raiz real seja [tex3]\alpha[/tex3]. Portanto:
[tex3]P(\alpha ) = 0[/tex3].

Por outro lado, tem-se que para qualquer [tex3]x[/tex3], [tex3]P(x) \geq ax^3 + 4x^2 + bx[/tex3]. Assim,
[tex3]P(\alpha ) \geq a\alpha^3 + 4\alpha ^2 + b\alpha[/tex3].

Então, pode-se concluir que:
[tex3]a\alpha^3 + 4\alpha ^2 + b\alpha \leq 0[/tex3].

Colocando-se [tex3]\alpha[/tex3] em evidencia:
[tex3]\alpha (a\alpha^2 + 4\alpha + b) \leq 0[/tex3].

[tex3]\alpha[/tex3] não pode ser [tex3]0[/tex3], pois [tex3]0[/tex3] não é raiz de [tex3]P(x)[/tex3].

Agora, tem-se dois casos para analisar:
[tex3]i) \alpha > 0[/tex3]; e
[tex3]ii) \alpha < 0[/tex3].

[tex3]i)[/tex3] Se a raiz é maior que zero, então [tex3]a\alpha^2 + 4\alpha + b \leq 0[/tex3].
Logo, [tex3]\Delta \geq 0[/tex3], se [tex3]a >0[/tex3] ou [tex3]\Delta \leq 0[/tex3], se [tex3]a < 0[/tex3].

-[tex3]\Delta = 16 - 4ab[/tex3].

Desse modo,
[tex3]16 - 4ab \geq 0 \rightarrow ab\leq 4[/tex3]; ou
[tex3]16 - 4ab \leq 0 \rightarrow ab \geq 4[/tex3].

De modo análogo e invertido, temos [tex3]ii)[/tex3].

Usando o fato [tex3]M.A.\geq M.G.[/tex3], conclui-se em todos os casos que [tex3]a^2 + b^2 \geq 8[/tex3].