IME/ITA ⇒ (ITA -2003) Radioatividade Tópico resolvido

[mahriana]

O tempo de meia-vida [tex3](t1/2)[/tex3] do decaimento radioativo do potássio [tex3]40(K^{40}_{19})[/tex3] é igual a [tex3]1,27 . 10^9[/tex3] anos. Seu decaimento envolve os dois processos representados pelas equações seguintes:

I.[tex3]K^{40}_{19}[/tex3] → [tex3]Ca^{40}_{20}[/tex3] + [tex3]e^0_{-1}[/tex3]
II. [tex3]K^{40}_{19}[/tex3] + [tex3]e^0_{-1}[/tex3] → [tex3]Ar^{40}_{18}[/tex3]

O processo representado pela equação I é responsável por 89,3% do decaimento radioativo do [tex3]K^{40}_{19}[/tex3], enquanto que o representado pela equação II contribui com os 10,7% restantes. Sabe-se, também, que a razão em massa de [tex3]Ar^{40}_{18}[/tex3] e [tex3]K^{40}_{19}[/tex3] pode ser utilizada para a datação de materiais geológicos. Determine a idade de uma rocha, cuja razão em massa de [tex3]Ar^{40}_{18}[/tex3] / [tex3]K^{40}_{19}[/tex3] é igual a 0,95. Mostre os cálculos e raciocínios utilizados.

[Vinisth]

Olá mahriana,
Veja que me todas as meias-vidas a massa de potássio é convertida em [tex3]10,7\%[/tex3] de [tex3]Ar^{40}_{18}[/tex3].
[tex3]\frac{{M_{Ar}}^{40}_{18}}{{M_K}^{40}_{19}}=0,95[/tex3]
Para isso precisamos montar as equações do potássio e do argônio.
A massa contida de argônio na rocha começa a ser determinada a partir do primeiro decaimento de potássio, consequentemente cada decaimento aumentará sua massa na rocha, e o total de sua massa será calculado através de uma soma de PG. Já o potássio sua massa total será apenas a ultima meia-vida.
Então :
[tex3]M_{Ar} \ = \ 0,107\frac{M}{2}.\left(\frac{\frac{1}{2}^n-1}{\frac{1}{2}-1}\right) = 0,107\frac{M}{2}.\left(1-(\frac{1}{2})^n\right)[/tex3]
[tex3]M_K \ = \ \frac{M}{2^n}[/tex3]
[tex3]\frac{{M_{Ar}}^{40}_{18}}{{M_K}^{40}_{19}}=0,95=0,107(2^n-1)[/tex3]
[tex3]0,95=0,107(2^n-1)[/tex3]
[tex3]2^n=9,88[/tex3]
[tex3]n=log_2^{9,88}=3,3[/tex3] meia-vida

[tex3]T=n.x = (3,3).(1,27.10^9) = 4,19[/tex3] bilhões de anos

Um forte abraço !