IME / ITA ⇒ (ITA - 2002) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[Fabio Friedrich]

Considere o seguinte raciocínio de cunho cartesiano: "Se a circunferência de centro [tex3]C=(h,0)[/tex3] e raio [tex3]r[/tex3] intercepta a curva [tex3]y\,=\,+\sqrt{x},\,x\,>\,0,[/tex3] no ponto [tex3]A\,=\,(a,\,\sqrt{a})[/tex3] de forma que o segmento [tex3]\overline{AC}[/tex3] seja perpendicular à reta tangente à curva em [tex3]A,[/tex3] então [tex3]x\,=\,a[/tex3] é raiz dupla da equação em [tex3]x[/tex3] que se obtém da intersecção da curva com a circunferência."

Use este raciocínio para mostrar que o coeficiente angular dessa reta tangente em [tex3]A[/tex3] é [tex3]\frac{1}{2\sqrt{a}}[/tex3].

[FilipeCaceres]

Olá Fabio Friedrich,

A reta tangente vale,
[tex3]m_{ac}\cdot m_t=-1[/tex3]
[tex3]m_{ac}=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{\frac{\sqrt{a}-0}{h-a}}[/tex3]
[tex3]m_{ac}=-\frac{h-a}{\sqrt{a}}\hspace{20pt}(1)[/tex3]

A equação da circunferência vale,
[tex3](x-h)^2+y^2=r^2[/tex3]

Substituindo [tex3]y^2=x[/tex3]
[tex3]x^2-2xh+h^2+x-r^2=0[/tex3]
[tex3]x^2+(1-2h)x+h^2-r^2=0[/tex3]

Como [tex3]a[/tex3] é raiz dupla da equação, então ela é raiz da primeira derivada,
[tex3]2a+1-2h=0[/tex3]
[tex3]a-h=-\frac{1}{2}\hspace{20pt}(2)[/tex3]

Susbtituindo [tex3](2)[/tex3] em [tex3](1)[/tex3]
[tex3]\boxed{m_{ac}=\frac{1}{2\sqrt{a}}}[/tex3]. C.Q.D

Abraço.