IME / ITA ⇒ (ITA - 1989) Binômio de Newton e Trigonometria Tópico resolvido

[edu_landim]

Escreva o desenvolvimento do binômio [tex3](\textrm{tg}^3\,x\,-\,\textrm{cosec}^6\,x)^m[/tex3], onde [tex3]m[/tex3] é um número inteiro maior que zero, em termos de potências inteiras de [tex3]\textrm{sen}\,x[/tex3] e [tex3]\cos\,x[/tex3]. Para determinados valores do expoente, este desenvolvimento possuirá uma parcela [tex3]P[/tex3], que não conterá a função [tex3]\textrm{sen}\,x[/tex3]. Seja [tex3]m[/tex3] o menor valor para o qual isso ocorre. Então [tex3]P\,=\,-\, \frac{64}{9}[/tex3] quando [tex3]x[/tex3] for igual a:

a) [tex3]x\,=\, \frac{\pi}{3} \,+\,2k \pi[/tex3], com [tex3]k[/tex3] inteiro

b) [tex3]x\,=\,\pm \frac{\pi}{3}e \,+\,k \pi[/tex3], com [tex3]k[/tex3] inteiro

c) [tex3]x\,=\, \frac{\pi}{4} \,+\,k \pi[/tex3], com [tex3]k[/tex3] inteiro

d) [tex3]x\,=\,\pm \frac{\pi}{6} \,+\,2k \pi[/tex3], com [tex3]k[/tex3] inteiro

e) não existe [tex3]x[/tex3] satisfazendo a igualdade desejada

[FilipeCaceres]

Olá edu_landim,

Reescrevendo a expressão,
[tex3](\tan^3x-\cosec^6x)^m=\left(\frac{\sen^3x}{\cos^3x}-\frac{1}{\sen^6x}\right)^m={m\choose k}\left(\frac{\sen x }{\cos x }\right)^{3(m-k)} (-1)^k\cdot \sen^{-6k}x[/tex3]

O termo P que não contém [tex3]\sen x [/tex3] será quando
[tex3]3m-9k=0[/tex3]
[tex3]m=3k[/tex3]

Assim temos
[tex3]{3\choose 1} \frac{(-1)^1}{\cos^6x}=-\frac{64}{9}[/tex3]
[tex3]\cos^6x=\frac{27}{64}[/tex3]
[tex3]\cos x =\pm\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=\pm \frac{\pi}{6}+2k\pi,\,\,k\in \mathbb{Z}}[/tex3]. Letra D

Abraço.