IME / ITA ⇒ (EN - 2005) Função Composta x Função Inversa Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Dadas as funções reais [tex3]f(x) = \frac{100}{1+2^{-x}}[/tex3] e [tex3]g(x) = 2^{\frac{x}{2}},[/tex3] pode-se afirmar que [tex3](g\circ f^{-1})(90)[/tex3] é igual a

[tex3]\text{a) } 10[/tex3]
[tex3]\text{b) } 3[/tex3]
[tex3]\text{c) } 1[/tex3]
[tex3]\text{d) }\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]\text{e) } \frac{1}{10}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Separa resolução do enunciado.

[tex3](g\circ f^{-1})(90)=g(f^{-1}(90))[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{100}{1+2^{-x}}[/tex3]

[tex3]\begin{array}{rl} x=\frac{100}{1+2^{-y}}&\Longrightarrow 1+2^{-y}=\frac{100}{x}\\&\Longrightarrow2^{-y}=\frac{100-x}{x} \\&\Longrightarrow 2^y=\frac{x}{100-x} \\&\Longrightarrow \log_22^y=\log_2 \left(\frac{x}{100-x}\right)\\&\Longrightarrow y^{-1}=\log_2 \left(\frac{x}{100-x}\right)\end{array}[/tex3]

[tex3]f^{-1}(90)=\log_2 \left(\frac{90}{100-90}\right)=\log_2 \left(\frac{90}{10}\right)=\log_29=2\cdot\log_23.[/tex3]

[tex3]g(f^{-1}(90)) =g(2\cdot\log_23)= 2^{\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\log_23}=2^{\log_23}=3[/tex3]. Letra B