Ensino Superior ⇒ Regra de L'Hospital Tópico resolvido

[marciia]

Resolva:

[tex3]\lim_{x \to \infty} e^{x} (e - ( 1 + \frac{1}{x})^{x})[/tex3]

Obrigada!

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}e^x\left[e-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]=(+∞.0)[/tex3]. Temos que;

[tex3]e^x\left[e-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]=\frac{e-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{e^{-x}}[/tex3] e

[tex3]\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{e-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{e^{-x}}=\left(\frac{0}{0}\right)[/tex3].

De [tex3]\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]'=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.\left[xln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]'=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.\left[ln\left(1+\frac{1}{x}\right)+x.\frac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}\right]=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.\left[ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right][/tex3] e da primeira regra de L'Hospital, resulta;

[tex3]\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{e-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{e^{-x}}= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.\left[ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right]}{e^{-x}}=\left(\frac{0}{0}\right)[/tex3].


Lembrando que [tex3]\lim_{x \rightarrow + \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/tex3] , basta então calcular
[tex3]\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left[ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right]}{e^{-x}}=\left(\frac{0}{0}\right)[/tex3]

Note que, esse último limite equivale a:

[tex3]\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{(x+1)^2}}{-e^{-x}}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x.(x+1)^2}[/tex3], de ( x + 1 )^2 = [tex3]x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)^2[/tex3] segue que

[tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x.(x+1)^2}=\lim_{x \rightarrow + \infty}
\frac{e^x}{x^3.\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}.\lim_{x \rightarrow +\infty}
\frac{e^x}{x^3}=1.(+∞)=+∞[/tex3]

Nota

[tex3]\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{e^x}{x^3}=+∞( por \ L'Hospital)[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{e^x}{x^3}=\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{e^x}{3x^2}=\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{e^x}{6x}=\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{e^x}{6}=+∞[/tex3]

Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow +\infty}e^x\left[e-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]=+∞[/tex3]



Bons estudos!