Ensino Superior ⇒ Regra de L'Hospital Tópico resolvido

[marciia]

Resolva:

[tex3]\lim_ {x\to \infty}[/tex3] [tex3]\left(\frac{1}{ln x}\right)^{ x+1}[/tex3]

Obrigada!

[AndreFgm]

Acho que não é necessário utilizar a Regra de L'Hôspital aqui, pois
[tex3]\lim_ {x\to \infty }x+1=\lim_ {x\to \infty }x[/tex3]
Já que, quando [tex3]x[/tex3] tende a um valor suficientemente grande, temos [tex3]x>>1[/tex3], e portanto,
[tex3]x+1[/tex3] tende a [tex3]x[/tex3],

Logo,
[tex3]\lim_ {x\to \infty}\[\(\frac{1}{\ln x}\)^{x+1}\]=\lim_ {x\to \infty}\[\(\frac{1}{\ln x}\)^{x}\]=\(\frac{1}{\infty}\)^{\infty}=0[/tex3]

[marciia]

Mas haverá uma indeterminação [tex3]0^{\infty }[/tex3].

[Radius]

aqui está como resolvi:

supor que o limite é igual a k:

[tex3]\lim_ {x\to \infty} \(\frac{1}{\ln x}\)^{ x+1}=k[/tex3]

aplicando ln nos dois lados:

[tex3]\ln \,k=\lim_ {x\to \infty} (x+1)\cdot \ln \,\(\frac{1}{\ln x}\)[/tex3]

[tex3]\ln \,k=-\lim_ {x\to \infty} (x+1)\cdot \ln \,\(\ln \,x \)[/tex3]

veja que as parcelas [tex3](x+1)[/tex3] e [tex3]\ln \,\(\ln \,x \)[/tex3] tendem para [tex3]\infty[/tex3]

portanto

[tex3]\ln \,k=-\infty[/tex3]

[tex3]\boxed{k=e^{-\infty }=0}[/tex3]

[AndreFgm]

Você está certa marciia, desculpe pelo erro grosseiro..

Mas, ao menos, vou continuar contribuindo:
Fazendo uma pesquisa, encontrei:

[tex3]\lim_ {x\to a} \(\frac{f(x)}{g(x)}\)^{ h(x)}=\lim_ {x\to a} e^{h(x)\(\frac{f(x)}{g(x)}-1\)}[/tex3]

Que poderá ser útil em outros problemas.

Daí, temos:
[tex3]\lim_{x\to \infty} \(\frac{1}{\ln x}\)^{ x+1}=\lim_ {x\to \infty}e^{(x+1)\(\frac{1}{\ln x } -1\)}=e^\lim_ {x\to \infty}{(x+1)\lim_ {x\to \infty}\(\frac{1}{\ln x } -1\)}=e^{\infty(-\infty)}=[/tex3]
[tex3]=e^{-\infty}=0[/tex3]

[AndreFgm]

Consegui demonstrar a equação apresentada:

Resposta

---

Fazendo algumas manipulações:
[tex3]\lim_ {x\to \infty} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{ h(x)}=\lim_ {x\to \infty} \left(1-1+\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{ h(x)}=\lim_ {x\to \infty} \left(1+\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\right)^{ h(x)\frac{f(x)-g(x)}{f(x)-g(x)}}=[/tex3]
[tex3]=\lim_{x\to \infty}\left( \left(1+\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\right)^{ h(x)\frac{f(x)-g(x)}{f(x)-g(x)}}\right)^{\frac{g(x)}{g(x)}}=[/tex3]
[tex3]=\lim_{x\to \infty}\left( \left(1+\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\right)^{ \frac{g(x)}{f(x)-g(x)}}\right)^{h(x)\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}}=[/tex3]
[tex3]=\left[ \lim_ {x\to \infty}\left(1+\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\right)^{ \frac{g(x)}{f(x)-g(x)}}\right]^{\lim_{x\to \infty}\[{h(x)\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}}\]}[/tex3]

Agora a parte mais emocionante, sem esquecer o limite exponencial fundamental:
[tex3]\lim_ {x\to \infty} \left(1 +\frac{k}{F(x)}\right)^{ F(x)}=e^k[/tex3]
Para [tex3]F(x)=\frac{g(x)}{f(x)-g(x)}[/tex3], e [tex3]k=1[/tex3], temos:
[tex3]\lim_ {x\to \infty} \left(1 +\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\right)^{ \frac{g(x)}{f(x) -g(x)}}=e[/tex3]
E, portanto,
[tex3]\left[\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\right)^{\frac{g(x)}{f(x)-g(x)}}\right]^{\lim_{x\to \infty}\[h(x)\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\]}=e^{\lim_ {x\to \infty}\[h(x)\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}\]}=[/tex3]
[tex3]=e^{\lim_ {x\to \infty}\[h(x)(\frac{f(x)}{g(x)}-1)\]}=

\lim_{x\to\infty} e^{\[h(x)(\frac{f(x)}{g(x)}-1)\]}[/tex3]

Portanto:
[tex3]\lim_ {x\to \infty} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{ h(x)}=\lim_ {x\to \infty} e^{h(x)(\frac{f(x)}{g(x)}-1)}[/tex3]
C.Q.D

[marciia]

Entendi

Obrigada AndreFgm e Radius!