Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Permutações Circulares

[paulo testoniMOD]

Em um jantar, 30 pessoas são convidadas a se sentarem em uma mesa circular. Por questões religiosas, as mesmas foram divididas em grupos. 5 muçulmanos em 2 grupos, 1 grupo de 4 hindús e o resto são cristãos. De quantas maneiras possíveis os convidados podem se colocar à mesa ?

[Eduardo]

o segredo da mesa ser circular é o seguinte:

imagine que temos uma mesa reta para 4 pessoas: então teríamos 4! jeitos de colocar essas pessoas na mesa.

mas se a mesa for circular, 1 2 3 4 é igual a 2 3 4 1 que é igual a 3 4 1 2 que é igual a 4 1 2 3. ou seja, voce pode girar a mesa que continua a mesma coisa... (veja que divide por 4 o número de maneiras, pois cada maneira é igual a quatro outras)

então para colocarmos n pessoas numa mesa circular temos [tex3]\frac{n!}{n}[/tex3] maneiras.

agora vem o detalhe que eu não sei o que voce quis dizer....

os grupos sempre se sentam juntos? os cristões são um grupo?

pelo que eu entendi, os muçulmanos sempre se sentam juntos, (2 grupos de 5) os hindus sempre se sentam juntos e os cristãos sentam de qualquer maneira.... se for esse o caso:

então podemos contar os muçulmanos como 2 pessoas e os hindús como 1 pessoa, sobrando [tex3]16 + 2 + 1.[/tex3]

isso dá [tex3]\frac{19!}{19}[/tex3] mas como pode-se trocar a ordem de cada pessoa no seu grupo temos:

[tex3]\frac{19!}{19}.5!.5!.4!=18!.5!.5!.4![/tex3]

caso todos os cristãos tenham que sentar juntos também, então teríamos:

há 4 grupos, um de 16, 2 de 5 e um de 4 pessoas.

[tex3]\frac{4!}{4}.16!.5!.5!.4!=3!.16!.5!.5!.4![/tex3]