Ensino Médio ⇒ Máximo Divisor Comum Tópico resolvido

[theblackmamba]

Calcule o valor de :

[tex3]\text{mdc}\,(2002+2,\,\,2002^2+2,\,\,2002^3+2,...)[/tex3]

Resposta

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[tex3]6[/tex3]

Livro: 104 Number Theory Problems

[Cássio]

Olá Theblackmamba.

Calcula-se facilmente que [tex3]\text{mdc}\ (2002+2,2002^2+2)=6.[/tex3] Então, temos que mostrar apenas que [tex3]6\mid 2002^n+2,\ \ n\in\mathbb{N},\ \ n>2.[/tex3] De fato, se [tex3]\text{mdc}\ (2002+2,\ 2002^2+2,\ 2002^2+2,...)=d>6[/tex3] significa que [tex3]d\mid 2002+2,\ \ d\mid 2002^2+2[/tex3] o que implica em [tex3]d\mid \text{mdc}\ (2002+2,\ 2002^2+2).[/tex3] Uma contradição, pois já vimos que [tex3]\text{mdc}\ (2002+2,\ 2002^2+2)=6.[/tex3]

Vamos mostrar que

[tex3]2002^n+2\equiv 0\pmod{6},\ \ \forall\ n\in\mathbb{N},\ \ n>2.[/tex3]

De fato, [tex3]2002\equiv 4\pmod{6}\ \ \Longrightarrow\ \ 2002^n\equiv 4^n\pmod{6}[/tex3]

Agora usamos o seguinte fato: [tex3]4^m\equiv 4\pmod{6},\ \forall\ m\in\mathbb{N^*}.[/tex3]

Prova: Indução em [tex3]m:[/tex3] Para [tex3]m=1[/tex3] é trivialmente verdade. Suponha verdade para algum [tex3]m=k-1.[/tex3] Então: [tex3]4^{k-1}\equiv 4\pmod 6\ \ \Longrightarrow\ \ 4^k\equiv 16\equiv k\pmod6.[/tex3] Então a proposição é verdadeira para [tex3]m+1.[/tex3]

Daí: [tex3]2002^n+2\equiv 4^n+2\equiv 6\equiv 0\pmod6,\ \ \forall\ n\in\mathbb{N^*}.[/tex3]

Então [tex3]6[/tex3] é o maior número inteiro que divide [tex3]2002^x+2,\ \ \forall x\in\mathbb{N^*}.[/tex3]

Portanto, [tex3]\text{mdc}\ (2002+2,\ 2002^2+2)=6.[/tex3]

Até.