Pré-Vestibular ⇒ (FEI) Conjuntos e Subconjuntos Tópico resolvido

[Almondega18]

Se [tex3]n[/tex3] é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores que 40, então o valor [tex3]n[/tex3] é :

a) 127
b) 125
c) 124
d) 120
e) 110

[emanuel9393MOD]

Olá, almondega 18!

Suponha que [tex3]A[/tex3] seja o conjunto de todos os múltiplos positivos de [tex3]5[/tex3] menores que [tex3]40[/tex3]. Esse conjunto pode ser expresso com uma P.A. de razão [tex3]r \, = \, 5[/tex3] cujo primeiro termo é [tex3]a_{1} \, = \, 5[/tex3] e seu último termo é [tex3]a_{n} \, = \, 35[/tex3]. Vamos determinar o número de elementos de [tex3]A[/tex3]:

[tex3]35 \, = \, 5 \, + \, \left(n \, - \, 1\right) \cdot 5 \,\,\, \Rightarrow n \, = \, 7[/tex3]

Determinemos o número de elementos do Conjunto das partes de [tex3]A[/tex3]:

[tex3]P^{A} \, = \, 2^{7} \, = \, 128\text{ elementos}[/tex3]

Só que o conjunto vazio está contido no conjunto das partes. Logo:

[tex3]\boxed{\boxed{127\text{ sub-conjuntos}}}[/tex3]

Letra A

Um abraço!

[Cássio]

O conjunto dos múltiplos positivos de [tex3]5[/tex3] menores que 40 é [tex3]M=\{5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25,\ 30,\ 35\}.[/tex3]

O conjunto [tex3]M[/tex3] tem 7 elementos, então o número total de subconjuntos é [tex3]2^7=128.[/tex3] Só que nessa contagem está incluído o conjunto vazio. Então tirando o conjunto vazio, ficamos com [tex3]127[/tex3] subconjuntos.

Outra maneira

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Outra maneira de pensar poderia ser o seguinte: o número total de subconjuntos é sempre uma potência de 2. Se eu tirar o conjunto vazio, então o número de subconjuntos é uma potência de 2 menos um. Daí, mesmo sem calcular a quantidade de múltiplos de 5, dava pra ver que a resposta seria 127, pois é o único número dentre as alternativas que é uma potência de 2 menos um.